Man sieht nun zunächst, daß der Satz [II[!--tex4ht:ref: thm:16.II --] in dem Fall evident ist, daß die Kugelkreise k und k1 beide durch den Südpol S gehen, also ihre Tangenten t und t1 in der Ebene ε' liegen. Dann gehen nämlich auch die Bildkreise k' und k1' durch S, und deren Tangenten t' und t1' sind mit t und t1 identisch, woraus die Behauptung unmittelbar folgt.
Hieraus ergibt sich der Beweis des allgemeinen Falles folgendermaßen. Seien k und l irgend zwei Kugelkreise, die sich im Punkte P schneiden, sei (k,l) der von ihnen gebildete Winkel[86], und seien k' und l' die Bildkreise, so ist zu zeigen, daß
| (k, l) = (k', l'). | (1) |
ist. Gemäß [1[!--tex4ht:ref: subsub:16..1 --]. und [2[!--tex4ht:ref: subsub:16..2 --]. schließen wir dann zunächst, daß es zwei Kreise k1 und l1 gibt, die in P dieselben Tangenten haben, wie k und l, und überdies durch S gehen, und es ist
| (k, l) = (k1, l1). | (2) |
Die Bildkreise k1' und l1' gehen dann ebenfalls durch S, und gemäß [1[!--tex4ht:ref: subsub:16..1 --]. und [2[!--tex4ht:ref: subsub:16..2 --]. ist auch
| (k', l') = (k1', l1'). | (3) |
Da nun aber auf Grund des eben bewiesenen Sonderfalles
| (k1, l1) = (k1', l1'). | (4) |
ist, so folgt damit auch die Richtigkeit der Relation [1[!--tex4ht:ref: eq:16.1 --]). Damit ist der Satz [II[!--tex4ht:ref: thm:16.II --] in vollem Umfange bewiesen.