Die durch die stereographische Projektion vermittelte Abbildung wird deshalb als winkeltreu bezeichnet. Denkt man sich auf der Kugel ein sehr kleines Kugeldreieck, so entspricht ihm ein ebenes Kreisdreieck mit gleichen Winkeln, und da man diese Dreiecke in der Annäherung als geradlinig betrachten kann, so sagt man, daß die Abbildung in den kleinsten Teilen ähnlich ist. Abbildungen dieser Art heißen auch konform.
Als Beispiel behandeln wir diejenige Kugelteilung, die durch die sechs Diagonalebenen eines der Kugel einbeschriebenen Würfels entsteht. Durch jeden Würfeleckpunkt gehen drei von ihnen; wir haben also auf der Kugel sechs größte Kreise, die sich zu je dreien in einem Punkt schneiden. Den Würfel denken wir uns in der Stellung, die Figur [57[!--tex4ht:ref: fig:57 --] zeigt; die Diagonale AH fällt also mit der Achse NS zusammen.
| Fig 94 |
Die drei durch NS = HA gehenden Kreise projizieren sich (Fig. [94[!--tex4ht:ref: fig:94 --]) in je eine durch A gehende Gerade; jede von ihnen enthält die Bilder von zweien der Ecken B, C, D und E, F, G. Nur die Längen AB1 und AE1 sind noch zu ermitteln. Offenbar erhalten wir AB1, indem wir in Figur [56[!--tex4ht:ref: fig:56 --] HB bis zum Schnitt B1 mit der durch A gehenden Horizontalen verlängern; analog ergibt die Verlängerung von AB his zum Schnitt mit der durch H gehenden Horizontalen die Lange von AE1. Die Kreise durch B1C1E1F1, C1D1F1G1 und B1D1E1G1 liefern die Bilder der drei gesuchten Diagonalkreise unserer Kugelteilung.[87]
§ 17. Die Relief- und Theaterperspektive.
Um zwei Ebenen ε und ε1 parallelperspektiv aufeinander zu beziehen[88], genügt es gemäß § [5[!--tex4ht:ref: section:5 --], [6[!--tex4ht:ref: subsub:5..6 --] einem beliebigen Punkt P der Ebene ε einen beliebigen Punkt P1 von ε1 als entsprechenden zuzuweisen; die Verbindungslinie von P und P1 bestimmt die Richtung der projizierenden Strahlen. Ferner schneiden sich gemäß Satz [II[!--tex4ht:ref: thm:4.II --] von § [4[!--tex4ht:ref: section:4 --] je zwei entsprechende Geraden g und g1 beider Ebenen auf ihrer Schnittlinie s, die eine sich selbst entsprechende Gerade ist.
