Fig 95

Wird die Ebene ε1 um die Achse s in die Ebene ε hineingedreht, so wird g1 im allgemeinen nicht mit g zusammenfallen. Es ist aber leicht, ein Paar entsprechender Geraden von ε und ε1 zu finden, das diese Eigenschaft besitzt. (Fig. [95[!--tex4ht:ref: fig:95 --]). Dazu braucht man nur, nachdem man ε1 in ε hineingedreht hat, P1 und P zu verbinden, so stellt diese Verbindungslinie ein Paar zusammenfallender Geraden dar. Ist nämlich G ihr Schnittpunkt mit s, so ist G = G1 und die Geraden GP und G1P1 sind daher auch für die ursprüngliche Lage von ε und ε1 entsprechende Geraden beider Ebenen. Wir bezeichnen sie durch p und p1.

Auf diesen Geraden p und p1 gibt es außer dem Punkt G = G1 noch ein zweites Paar entsprechender Punkte, das bei der Vereinigung von ε1 mit ε zusammenfällt, nämlich ihre unendlichfernen. Da wir es nämlich mit einer parallelperspektiven Beziehung zu tun haben, so sind (§ [6[!--tex4ht:ref: section:6 --], [I[!--tex4ht:ref: thm:6.I --]) die unendlichfernen Punkte von p und p1 entsprechende Punkte beider Ebenen, andererseits ist klar, daß sie bei der Vereinigung von ε1 mit ε zusammenfallen. Gibt es auf p und p1 noch ein drittes Paar derartiger Punkte A und A1, so müssen alle Paare entsprechender Punkte zusammenfallen; denn man hat GA = G1A1, und der zu p und p1 gehörige Proportionalitätsfaktor ρ hat daher den Wert 1. Dies wollen wir jedoch ausdrücklich ausschließen; insbesondere wird also auch der Punkt P1 nicht mit P zusammenfallen.

Sei jetzt Q irgendein Punkt von ε, so können wir durch ihn eine Gerade q parallel zu p legen. Dann ist auch q1 parallel zu p1, und da sich q und q1 überdies in einem Punkt von s schneiden, so bilden auch q und q1 ein Paar entsprechender Geraden, das bei der vereinigten Lage von ε und ε1 zusammenfällt. Für die vereinigte Lage ist also q = q1 eine Gerade, die sowohl den Punkt Q wie auch den Punkt Q1 enthält und außerdem durch den unendlichfernen Punkt von p geht. Bezeichnen wir diesen Punkt noch durch S∞, so ergibt sich nunmehr das folgende Resultat:

I. Die beiden vereinigt liegenden Ebenen ε und ε1 sind so aufeinander bezogen, daß sich je zwei entsprechende Geraden auf der Achse s schneiden, und je zwei entsprechende Punkte auf einem durch ein festes Zentrum S∞ gehenden Strahl liegen. Der Punkt S∞ und jeder Punkt der Achse s entspricht sich selbst, ebenso jeder durch S∞ gehende Strahl.[89]

Von den vereinigt liegenden Ebenen ε und ε1 sagen wir auch jetzt, daß sie sich in parallelperspektiver Lage befinden, und nennen s die Achse und S∞ das Zentrum der Perspektivität. Statt Perspektivität sind auch die Bezeichnungen kollineare Lage, Kollineationsachse und Kollineationszentrum im Gebrauch.

Um eine solche Beziehung zu vermitteln, konnten wir in der ursprünglichen Lage von ε und ε1 ein Punktepaar P, P1 beliebig einander zuweisen. Außerdem ist auch die Schnittlinie s als gegeben zu betrachten. Dies überträgt sich analog auf die vereinigte Lage. Hat man nämlich für die vereinigte Lage eine Achse s und ein Punktepaar P, P1 beliebig ausgewählt, und wird dann die vereinigte Lage durch Auseinanderdrehen von ε und ε1 um s als Achse zunächst wieder aufgehoben, so ist durch das Punktepaar P, P1 eine Projektionsrichtung und damit eine parallelperspektive Beziehung vermittelt. Damit ist jedem Punkt der einen Ebene ein entsprechender der anderen zugewiesen, und dies bleibt bestehen, wenn wir die vereinigte Lage wieder herstellen. Da nun in der vereinigten Lage durch das Punktepaar P, P1 auch der Punkt S∞ bestimmt ist, können wir dies folgendermaßen als Satz aussprechen:

II. Um zwei vereinigte Ebenen ε und ε1 in parallelperspektive Beziehung zubringen, kann mau die Achse s, das Zentrum S∞ und auf irgendeinem durch S∞ gehenden Strahl ein Paar entsprechender Punkte P und P1 beliebig annehmen.

Unser Beweis ging so vor, daß wir die Ebenen ε und ε1, um einen beliebigen Winkel auseinander drehten. Man kann daher fragen, ob die sich für die vereinigte Lage einstellende parallelperspektive Beziehung von diesem Winkel abhängt. Dies ist jedoch nicht der Fall; vielmehr ist die so hergestellte perspektive Beziehung der vereinigten Ebenen ε und ε1 durch s, S∞ und das Punktepaar P, P1 eindeutig bestimmt. Um dies nachzuweisen, ist nur zu zeigen, daß sich zu einem gegebenen Punkt Q von ε der zugehörige Punkt Q1 von ε1 eindeutig konstruieren läßt (Fig. [95[!--tex4ht:ref: fig:95 --]). Man ziehe hierzu durch Q die Gerade q parallel zur Geraden p = PP1 und außerdem die Gerade QP; ist G ihr Schnitt mit s, so liegt Q1 erstens auf q1 = q und zweitens auf der Geraden g1 = GP1, die der Geraden g = GP entspricht. Damit ist Q1 eindeutig bestimmt und der Beweis geliefert.

Sei endlich e eine durch P gehende Gerade von ε, die zu s parallel ist, also durch den unendlichfernen Punkt von s geht, so entspricht ihr in ε1 eine Gerade e1, die ebenfalls durch diesen Punkt geht, also ebenfalls zu s parallel ist. Jeder zu s parallelen Geraden der einen Ebene entspricht also eine ebensolche Gerade der anderen. Unter den zu s parallelen Geraden von ε befindet sich insbesondere auch die unendlichferne Gerade h∞ von ε; ihr entspricht daher eine zu s parallele Gerade h1 von ε1, und ebenso gibt es in ε eine zu s parallele Gerade k; die der unendlichfernen Geraden von ε1 entspricht. Wir finden so die Resultate wieder, die wir analog schon in § [7[!--tex4ht:ref: section:7 --] abgeleitet haben.