Fig 96

Wir unterwerfen die Ebene ε nunmehr der in § [2[!--tex4ht:ref: section:2 --] erörterten Abbildung, und zwar in der Weise, daß die Ebenen ε und ε' sich in der Achse s schneiden mögen.[90] Dabei entspricht dem Punkt S∞ der Ebene ε ein auf dem Horizont von ε' liegender Fluchtpunkt S, und wir erhalten für die Bildebene ε' unmittelbar folgenden Tatbestand. In ihr befinden sich zwei Ebenen ε' und ε'1 in der Weise in vereinigter Lage, daß je zwei entsprechende Punkte P' und P'1 auf einem durch S gehenden Strahl liegen, und je zwei entsprechende Geraden g' und g'1 sich auf der Achse s schneiden. Der Punkt S und jeder Punkt der Achse s entspricht sich wieder selbst. Auch jetzt sagen wir, daß sich ε' und ε'1 in perspektiver oder kollinearer Lage befinden, und nennen s die Achse und S das Zentrum der perspektiven oder kollinearen Lage. Auch von dem Satz [II[!--tex4ht:ref: thm:17.II --] erkennen wir leicht, daß er sich auf diesen allgemeineren Fall der perspektiven Lage überträgt. Wird nämlich (Fig. [96[!--tex4ht:ref: fig:96 --]) in der Ebene ε' eine Gerade s, ein Punkt S und auf einem durch S gehenden Strahl ein Punktepaar P', P'1 beliebig angenommen, so können wir die Ebene ε' so als Bildebene einer Ebene ε auffassen, daß sich ε und ε' in s schneiden, und daß dem Punkt S in ε ein unendlichferner Punkt S∞ entspricht; man hat hierzu das perspektive Zentrum S0, das die Beziehung von ε und ε' vermittelt, nur so zu wählen, daß der Horizont von ε' durch S geht. Wir haben also den Satz:

III. Um für zwei vereinigte Ebenen ε' und ε'1 eine perspektive Lage herzustellen, kann man die Achse s und das Zentrum S der Perspektivität, sowie auf einem durch S gehenden Strahl ein Paar entsprechender Punkte P' und P'1 beliebig annehmen.

Gemäß § [4[!--tex4ht:ref: section:4 --] gehen bei jeder perspektiven Beziehung zweier Ebenen ε und ε' Geraden, die der Achse s parallel sind, in Geraden über, die ebenfalls zu s parallel sind. Betrachtet man daher die in ε liegenden zu s parallelen Geraden einerseits als Geraden von ε und andererseits als Geraden von ε1 so sind die ihnen entsprechenden Geraden von ε' und ε'1 ebenfalls sämtlich zu s parallel; wir folgern also, daß allen zur Achse parallelen Geraden von ε' die zu s parallelen Geraden von ε'1 entsprechen.

Hieraus ziehen wir zwei Folgerungen. Erstens gibt es wieder in ε' eine zu s parallele Gerade h', die der unendlichfernen Geraden von ε'1 entspricht, und in ε'1 eine zu s parallele Gerade k'1, die der unendlichfernen Geraden von ε' entspricht. Wir wollen sie wieder als Fluchtlinien bezeichnen, und zwar h' als Fluchtlinie von ε' und k'1 als Fluchtlinie von ε'1. Eine zweite Folgerung fließt aus der überlegung, daß insbesondere auch die beiden parallelen Geraden einander entsprechen müssen, die durch P' und P'1 gehen. Wir können daher den Satz [III[!--tex4ht:ref: thm:17.III --] so abändern, daß wir die Punkte P' und P'1 durch irgend zwei einander entsprechende zu s parallele Geraden von ε' und ε'1 ersetzen. Ein solches Paar entsprechender Geraden wird insbesondere durch die Fluchtlinie der einen Ebene und die unendlichferne Gerade der anderen gebildet, und so erhalten wir schließlich den Satz:

IV. Um für zwei vereinigte Ebenen ε' und ε'1 die perspektive Lage herzustellen, kann man die Achse s und das Zentrum S der Perspektivität, sowie eine zu s parallele Gerade als Fluchtlinie der einen Ebene beliebig wählen.

Das Vorstehende wollen wir nun sinngemäß auf den Raum übertragen. Doch mag es genügen, die tatsächlichen Verhältnisse, soweit sie hier in Frage kommen, darzustellen. Ihre volle Analogie mit den Sätzen der Ebene mag für ihre Richtigkeit sprechen.

Fig 97