Wir denken uns zunächst den Raum doppelt, bezeichnen den einen durch Σ, den anderen durch Σ1, und wollen Σ und Σ1 in der Weise einander zuordnen, daß an die Stelle des Punktes S und der Achse s ein Punkt S und eine Ebene σ von analoger Eigenschaft treten. Es soll also jeder Punkt von σ sich selbst entsprechen, und es sollen je zwei entsprechende Punkte auf einem durch S gehenden Strahl liegen. Ist daher ε irgendeine Ebene von Σ, so müssen sich ε und ε1 in einer Geraden von σ schneiden, und ist g eine Gerade von Σ, so müssen sich auch die Geraden g und g1 in einem Punkt von σ treffen. Diese Beziehung von Σ und Σ1 läßt sich auch hier so bewirken, daß wir (Fig. [97[!--tex4ht:ref: fig:97 --]) den Punkt S, die Ebene σ sowie ein Paar entsprechender Punkte P und P1 auf einem durch S gehenden Strahl p = p1 beliebig annehmen. Man kann nämlich zu einem Punkt Q von Σ den entsprechenden Punkt Q1 von Σ1 ganz analog konstruieren, wie oben. Zieht man zunächst den Strahl QS = q, so muß wegen q = q1 der Punkt Q1 auf ihm liegen. Wird ferner durch Q und P die Gerade y gezogen, und ist G ihr Schnitt mit σ, so ist G = G1, also geht g1 durch G und P1, ist also konstruktiv bestimmt und enthält ebenfalls den Punkt Q1.
Es ist nur noch zu zeigen, daß sich die beiden Geraden q1 und g1, die den Punkt Q1 bestimmen sollen, wirklich schneiden. Dies tun sie aber in der Tat, da alle hier benutzten Geraden p, q, g und g1 in einer und derselben Ebene liegen, und zwar in derjenigen, die durch p und q bestimmt ist.[91]
Von den so aufeinander bezogenen Räumen Σ und Σ1 sagen wir wiederum, daß sie sich in perspektiver oder kollinearer Lage befinden, und nennen S das Zentrum und σ die Ebene der Perspektivität oder Kollineation. Dann besteht der Satz:
V. Um zwei Räume Σ und Σ1 perspektiv aufeinander zu beziehen, kann man das Zentrum S und die Ebene σ der Perspektivität, sowie auf einem durch S gehenden Strahl ein Paar entsprechender Punkte P und P1 beliebig annehmen.
| Fig 98 |
Wie oben, folgern wir auch hier, daß der Ebene π, die durch P geht und parallel zu σ liegt, eine durch P1 gehende zu σ parallele Ebene π1 entspricht, daß ferner jeder zu σ parallelen Ebene des einen Raumes eine ebenfalls zu σ parallele Ebene des anderen Raumes entspricht, und daß man die perspektive Beziehung auch in der Weise herstellen kann, daß man irgendein Paar von Ebenen, die zu σ parallel sind, in Σ und Σ1 einander entsprechen läßt. Insbesondere entspricht auch wieder der unendlichfernen Ebene η∞ von Σ in Σ1 eine zu σ parallele Fluchtebene η1 und der unendlichfernen Ebene von Σ1 eine zu σ parallele Fluchtebene von Σ, und man kann die perspektive Beziehung auch mittels eines dieser Ebenenpaare festlegen (Fig. [98[!--tex4ht:ref: fig:98 --]). Also folgt:
VI. Um zwei Räume Σ und Σ1 perspektiv aufeinander zu beziehen, kann man das Zentrum S und die Ebene σ der Perspektivität, sowie eine zu σ parallele Ebene als Fluchtlinie des einen Raumes beliebig auswählen.
Dies sind die Tatsachen, die der geometrischen Theorie der Reliefperspektive und der Theaterperspektive zugrunde liegen.
Eine auf dem Vorstehenden beruhende Reliefdarstellung hat so zu geschehen, daß der darzustellende Körper R dem Raum Σ angehört, während sein Bild R1 Teil des Raumes Σ1 ist. Sie ist ferner so herzustellen, daß das perspektivische Zentrum S das Auge des Beschauers vorstellt, und die Ebene, auf der sich das Relief R1 erhebt, die Fluchtebene η1 des Raumes Σ1 ist. Dies bewirkt, daß das Relief unendliche Tiefenausdehnung zu besitzen scheint; es ist ja das Abbild eines sich bis zur unendlichfernen Ebene η∞ von Σ erstreckenden Raumteils. Die Perspektivitätsebene σ, die die Räume Σ und Σ1 entsprechend gemeinsam haben, befindet sich zwischen dem Auge S und der Ebene η1; das Relief R1 selbst ist ganz zwischen den Ebenen σ und η1 enthalten. Je näher also das Relief R1 der Ebene σ kommt, um so geringer ist die Verzerrung, die seine obersten Teile erleiden. Aus unserem allgemeinen Satz folgt noch, daß S, σ, η1 beliebig wählbar sind, daß aber mit ihnen die Abbildung bestimmt ist.[92]