welche das Bogenelement der Kugel zum Bogenelement der Ebene in Beziehung setzt. Hier ist [formula] eben auch eine Grösse zweiter Ordnung, und es findet daher beim Uebergange zur Kugel genaue Compensation statt.
§. 6. Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Functionen eines complexen Argumentes.
Nun wir die Kugel als Substrat unserer Betrachtungen gewonnen haben, übertragen wir auf sie, was wir in den §§. 3 und 4 betreffs rationaler Functionen und ihrer Integrale haben kennen lernen. Wir gewinnen dadurch, dass alle früher aufgestellten Sätze auch für unendlich grosses z und somit ausnahmslos gelten. Um so interessanter wird es, sich auf der Kugel den Verlauf bestimmter rationaler Functionen zu überlegen und über die Mittel zu ihrer physikalischen Realisirbarkeit nachzudenken(8). Aber es ist eine andere wichtige Frage, welche sich bei solchen Untersuchungen aufdrängt. Die verschiedenen Functionen des Ortes, welche wir auf der Kugelfläche studiren, sind zugleich Functionen des Argumentes [formula]. Woher dieser Zusammenhang?
Man wolle vor allen Dingen bemerken, dass [formula] selbst eine complexe Function des Ortes auf unserer Kugel ist; genügen doch x und y, für u und v eingesetzt, den früher (§. 1) für letztere aufgestellten Differentialgleichungen. So lange man in der Ebene operirt, könnte man denken, dass diese Function vor den übrigen etwas Wesentliches voraus habe; nach dem Uebergange zur Kugel ist hierzu keine Veranlassung mehr. Und in der That verallgemeinert sich die Bemerkung, auf die sich unsere Frage bezieht, sofort. Wenn [formula] und [formula] Functionen von [formula] sind, so ist auch [formula] eine Function von [formula] Wir haben also für Ebene und Kugelfläche den allgemeinen Satz: dass von zwei complexen Functionen des Ortes im Sinne der gewöhnlichen functionentheoretischen Ausdrucksweise jede eine Function der anderen ist.
Wird dieses nun eine besondere Eigenthümlichkeit der genannten Flächen sein? Sicher wird sich dieselbe auf alle solche Flächen übertragen, die man auf einen Theil der Ebene (oder der Kugel) conform beziehen kann. Diess folgt aus dem letzten Satze des vorigen Paragraphen. Ich sage aber, dass dieselbe Eigenthümlichkeit überhaupt allen Flächen zukommt, womit implicite behauptet wird, dass man einen Theil einer beliebigen Fläche auf die Ebene oder die Kugelfläche conform übertragen kann.
Der Beweis gestaltet sich unmittelbar, wenn man die Bestandteile [formula] irgend einer auf einer Fläche existirenden complexen Function des Ortes, [formula], auf der Fläche selbst als krummlinige Coordinaten einführt. Dann müssen nämlich die Coëfficienten E, F, G in dem Ausdrucke des Bogenelementes so beschaffen werden, dass Identitäten entstehen, wenn man in die Gleichungen (2)-(5) des vorigen Paragraphen für p und q und gleichzeitig für u und v bez. x und y einführt. Diess bedingt, wie man sofort ersieht, dass [formula], [formula] wird. Hierdurch aber verwandeln sich jene Gleichungen in die wohlbekannten:
[formula]
Sie gehen also direct in jene Gleichungen über, durch welche man Functionen des Argumentes [formula] zu definiren pflegt, so dass [formula] in der That eine Function von [formula] wird, was zu beweisen war.
Zugleich erledigt sich, was hinsichtlich conformer Abbildung behauptet wurde. Denn ans der Form des Bogenelementes
[formula]