[Illustration: Fig. 43.]
Fig. 43.
Dabei erscheinen in Figur (42) die vier Kreuzungspuncte der Strömung vermöge der gewählten Projectionsart als Berührungspuncte der Niveaucurven mit der scheinbaren Contour der Ringfläche.
§. 16. Functionen von [formula], welche den untersuchten Strömungen entsprechen.
Sei [formula], wie in §. 14, eine eindeutige complexe Function des Ortes auf unserer Fläche mit m algebraischen, einfachen Unendlichkeitspuncten. Wir verwandeln unsere Fläche nach Anleitung jenes Paragraphen in eine m-blättrige Fläche über der [formula]-Ebene(28) und legen uns nun die Frage vor, in welche Functionen des Argumentes [formula] die bisher untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen. Man erinnere sich dabei der Entwickelungen des §. 6.
Seizunächst w eine complexe Function des Ortes, welche auf unserer Fläche, ebenso wie [formula], eindeutig ist. Vermöge der Festsetzungen, die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer Functionen und insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen worden sind, ergibt sich sofort, dass w als Function von [formula] nirgendwo einen wesentlich singulären Punct hat. Ueberdiess ist w auf der m-blättrigen über der z-Ebene ausgebreiteten Fläche, so gut wie auf der ursprünglichen Fläche, eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Sätze: _dass __w__ eine algebraische Function von __z__ ist_.
Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen, dass die m Werthe von w, welche demselben z entsprechen, zu je [formula] übereinstimmen mögen (wobei [formula] natürlich ein Theiler von m sein muss). Aber jedenfalls können wir solche eindeutige Functionen w auswählen, bei denen dieses nicht der Fall ist. Wir bestimmten oben (§. 13) die eindeutigen Functionen, indem wir ihre Unendlichkeitspuncte willkürlich annahmen. Wir haben es daher in der Hand, das erwähnte Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die Unendlichkeitspuncte von w so anzunehmen, dass nicht jedesmal [formula] von ihnen dasselbe z aufweisen. Dann kommt:
_Die irreducibele Gleichung, welche zwischen __w__ und __z__ besteht:_
[formula]
_hat in __w__ die [formula] Ordnung._