Allein unglücklicher Weise ist die Annahme nächster, d. i. solcher Raumpunkte, zwischen welchen ein dritter weder möglich noch wirklich ist, eben so unrichtig, wie die Annahme einander zunächst und unmittelbar an einander befindlichen Substanzen.

Beide Annahmen sind nicht gleich bedeutend. Man könnte zugegeben haben, wie es jeder Geometer thut, der die Stetigkeit des Raumes nicht läugnet, daß es keine nächsten Raumpunkte gebe, die unmittelbaren Wirkungen sonach nicht solche seien, welche von Substanzen ausgeübt werden, die sich in nächsten Raumpunkten befinden: dennoch könnte man behaupten wollen, es ließen sich Substanzen aufweisen, die zwischen sich nur leeren Raum und keine mittleren Substanzen haben. Im ersten Fall fände blos eine actio transiens, im letztern eine eigentliche actio in distans statt, und jene Substanzen wirkten unmittelbar aufeinander, zwischen welchen es keine gibt, die einer von beiden näher wäre, als sie es selbst einander sind. Dies hieße aber so viel, es gebe leeren Raum, der Raum sei nicht stetig erfüllt. Wir wollen versuchen, zu zeigen, daß die eine Annahme so irrig sei, wie die andere.

Da mit diesen beiden Sätzen das ganze frühere Raisonnement zu fallen scheint, so ist es nöthig, sie ausführlich zu prüfen. Was den erstern betrifft, der sich auf die Voraussetzung stützt, es gebe im Raum nächste Punkte, so vergleichen wir, was Herbart's Synechologie darüber enthält. Diese betrachtet die Linie anfangs so gut wie der Geometer als Continuum und stößt auf den Satz, der auch der Antinomie der Materie zu Grunde liegt: die Linie ist unendlich (ohne Ende) theilbar, und: sie ist nicht unendlich theilbar. Beide Sätze sind in einem gewissen Sinne, der aber bei jedem ein anderer ist, wahr, wäre dieser Sinn nicht bei jedem ein anderer, so müßte einer der beiden Sätze nothwendig falsch sein. Versuchen wir z. B. die Linie A B durch Anwendung gewisser, immer kleiner anzunehmender Maßeinheiten zu theilen, so gelangen wir niemals an's Ende. Andrerseits wissen wir, die Linie sei ein Zusammengesetztes; ein solches könne aber nicht bestehen ohne einfache Theile; dergleichen muß daher auch die Linie besitzen, zu welchen wir jedoch durch fortgesetzte Theilung niemals gelangen. Warum? weil wir das Einfache überhaupt nur zu denken, aber weder anzuschauen und empirisch zu erreichen, noch im Bilde festzuhalten vermögen. Soll die Linie daher einfache letzte Theile wirklich enthalten, dabei aber dennoch unendlich theilbar heißen, so kann dies letztere nur in Bezug auf die von uns wirklich versuchte und fortgesetzte Theilung der Fall sein. Eine solche wirkliche Theilung kann aber nur etwa bei materiellen Linien stattfinden. Bei diesen jedoch gelangen wir sehr bald an's Ende, weil uns keine Mittel weiter zu Gebote stehen, die Theilung fortzusetzen. Dagegen hat jede Linie, unabhängig von uns und unserer wirklichen Theilung an und für sich einfache, für uns unerreichbare letzte Theile, schon deshalb, weil sie ihrer Erklärung nach ein Ausgedehntes, also Zusammengesetztes sein muß und jeder ihrer Punkte, anzufangen von einer gewissen Entfernung für alle kleineren abwärts, gewisse Nachbarn hat, woraus die unendliche Menge ihrer Punkte von selbst folgt.

Es frägt sich, von welcher Art sind nun diese einfachen letzten, selbst theillosen Theile? Noch immer wiederholen einige Geometer den Satz: die Linie sei in's Unendliche aus Linien zusammengesetzt. Dieser ist nur richtig, wenn man ihn so versteht, daß es zu jeder auch noch so großen Anzahl von Linien, aus denen wir uns jede Linie, so klein sie wäre, zusammengesetzt denken, noch eine größere gibt. Unrichtig aber ist er, wenn er entweder so viel heißt, die Linie habe keine einfachen Theile, oder ihre einfachen Theile seien wieder Linien. Es ist wahr, daß wir durch fortgesetzte Theilung der Linie immer nur wieder zu Linien gelangen; es ist aber auch eben so wahr, daß jede Linie einfache Theile haben müsse, weil sie ein Zusammengesetztes ist. Diese einfachen Theile können nun selbst nicht wieder Linien sein, weil sie sonst selbst Ausgedehnte wären und aufhörten, ihre Bezeichnung zu verdienen. Sie sind eben nichts als einfache Theile und führen als solche den Namen: Punkte.

Es frägt sich ferner, ob es dieser Punkte in jeder (begrenzten oder unbegrenzten) Linie eine endliche oder unendliche Menge gebe? Sind ihrer nur endlich viele, so tritt der Satz der alten Metaphysik in sein Recht: extensio linearum pendet a numero punctorum. Dennoch ist eine Linie schon größer als eine andere, sobald sie nur um einen einzigen Punkt mehr besitzt, als diese. Allein eine Linie hat eine gewisse Ausdehnung; ein Punkt als einfacher Raumtheil hat keine Ausdehnung. Wird nun eine Ausdehnung, die um eine Null der Ausdehnung vermehrt worden, wohl größer heißen dürfen, als sie früher war? Den citirten Satz Wolff's und Baumgarten's erklärt auch Herbart, freilich blos in Bezug auf die »starre Linie,« für den seinigen und nimmt an, die Linie im intelligiblen Raum bestehe aus einer blos endlichen Anzahl reiner Aneinander. Und Fischer behauptet geradezu, zwei Punkte, deren Entfernung = 0, müßten nicht in einander, sondern könnten ganz wohl an einander gedacht werden. Denn nur für die Anschauung seien zwei Punkte, deren Entfernung = 0, ein Punkt, also in einander. Daß sie aber auch an einander gedacht werden könnten, und in manchen Fällen müssen, lasse sich außer Zweifel setzen[(120)]. Daß sie so gedacht werden können, bewies der Verf. selbst, indem er die Stelle niederschrieb, damit mußte er aber noch keineswegs etwas Wahres gedacht haben[(121)]. Es läßt sich vielmehr ganz streng beweisen, daß zwei Punkte einander nie und nirgendwo so nahe sein können, daß nicht noch ein dritter zwischen ihnen Raum fände.

Besteht aber die Linie nicht aus einer endlichen Anzahl von Punkten, so kann sie nur aus einer unendlichen bestehen. Jede begrenzte Linie, z. B. A B, die eine bestimmte endliche Länge, etwa die eines Zolles hat, erscheint daher in einer Hinsicht endlich, in einer andern unendlich; jenes in Bezug auf den Abstand ihrer Grenzpunkte von einander, dieses in Bezug auf die Anzahl der Punkte, welche sie enthält. Denkt man sich vollends den Raum stetig erfüllt, so nimmt jede in noch so enge Grenzen eingeschlossene Linie eine unendliche Menge von einfachen Wesen auf, weil keiner ihrer unendlich vielen Punkte unbesetzt bleiben darf. Um die hier sich häufenden scheinbaren Schwierigkeiten auf einen klaren Ausdruck zu bringen, betrachten wir nachstehendes Problem:

Nehmen wir ein Dreieck A B C, dessen Scheitel in B, dessen Basis A C sei, und ziehen in demselben in beliebiger Entfernung die Parallele zur Grundlinie D E. Nun enthält sowohl die Grundlinie als die Parallele nach dem Frühern unendlich viele Punkte. Verbinden wir ferner jeden Punkt der A C durch eine Gerade mit dem Scheitel B, so haben alle diese Geraden einen Punkt mit der D E gemein, ohne mit einander zusammenzufallen, da sie nicht mehr als den Scheitelpunkt B mit einander gemein haben dürfen. Nehmen wir endlich A C so erfüllt an, daß sich in jedem ihrer Punkte ein einfaches Wesen befinde, und übertragen wir die im Punkte A vorhandene Monas nach D, die in C befindliche nach E, und die in jedem beliebigen zwischen A und C gelegenen Punkt α ruhende Monas nach dem Durchschnittspunkt β der Linie B α mit der D E, so müssen alle in A C gewesenen Monaden auch in der kleineren D E Raum haben, und da nicht zwei Monaden in einem Raumpunkte sein können, weil ihn schon Eine vollständig erfüllt, so scheint zu folgen, daß die D E eben so viel Punkte enthalten müsse wie die A C.

Nichtsdestoweniger wenn wir vom Punkte E eine Parallele E F zur D A ziehen, schneidet diese auf der Basis A C ein D E gleiches Stück A F ab, in welchem sich abermals jeder Punkt mit einem entsprechenden der D E verbunden denken läßt, so daß auch A F gleich viel Punkte wie D E zu haben scheint. Nun ist A C offenbar = A F + F C > D E und das Stück F C für sich betrachtet, enthält gleichfalls eine unendliche Menge von Punkten, so daß wir erhalten

∞ + ∞ = ∞,

was uns offenbar nöthigt, verschiedene Größen der Unendlichkeiten anzunehmen. Da wir nun die Basis so groß denken können, als wir nur wollen, die Parallele D E aber dem Scheitel so nahe rücken, und folglich so klein machen können, als wir nur wollen, so muß es zuletzt dahin kommen, daß dieselbe Menge einfacher Wesen, die vorher die Basis erfüllte, sich von der beträchtlich kleineren Parallele in der Nähe des Scheitels aufnehmen lassen muß, ohne daß jemals zwei einfache Wesen in denselben Punkt zusammenfallen. Diese scheinbar sich immer steigernde Widersinnigkeit bewog Herbart, zu Fictionen seine Zuflucht zu nehmen. Um Etwas, das höchstens paradox klingt, d. h. nur scheinbar widersprechend ist, weil es sich sinnlich nicht vorstellen, sondern nur mit dem Verstande erkennen läßt, nicht annehmen zu müssen, nahm er an, was ein offenbarer Widerspruch ist. Das Untheilbare Aneinander soll in ein Halbes-, Drittel- und Viertelaneinander zerlegt gedacht werden, um den sich anhäufenden Wesen Platz zu machen. Indem er so die Theilung über die von ihm festgesetzte Grenze hinaus, wenigstens in Gedanken fortsetzt, gibt er stillschweigend zu, daß die Annahme »nächster Punkte,« wie sie seine starre Linie ausmachen, zur Lösung dieser und ähnlicher Schwierigkeiten nicht hinreiche[(122)]. Es bleibt daher unverwehrt, zu versuchen, ob es mit dem Gegentheil dieser Annahme besser gelingen werde. Gibt es in der That keine nächsten Punkte, sondern enthalten je zwei auch noch so nahe an einander gerückte Punkte noch einen dritten zwischen sich, so enthält auch jede noch so kleine räumliche Entfernung noch eine schrankenlose Unendlichkeit von Raumpunkten. Wollten wir statt dessen behaupten, beide Linien, sowohl die größere A C als die kleinere D E, enthielten eine gleiche Unendlichkeit von Punkten, so würden wir eine ganz unberechtigte Behauptung aufstellen, weil wir blos aus dem Umstande, daß zwei Mengen in einem solchen Verhältniß stehen, daß wir verfahrend nach einer gewissen Regel mit jedem Gliede der Einen ein und nur eines der Andern und mit jedem Gliede der Andern ein und nur eines der Erstern zu einem Paare vereinigen können, mit dem Erfolge, daß kein Glied der einen oder der andern Menge mehrmal genommen, auch keines übersprungen wird – weil wir aus diesem Umstande noch gar nicht berechtigt sind zu behaupten, daß beide Mengen einander gleich seien, sobald sie unendlich sind. Ein deutliches Beispiel davon liefern die Reihen der natürlichen Zahlen und der nach denselben fortlaufenden Potenzen von der Zahl 10. Wir würden daher in dieselbe Ungereimtheit verfallen, zu welcher, wie wir sahen, der Satz: extensio linearum pendet a numero punctorum, verleiten konnte. Vorsichtiger dürfen wir uns nur folgendermaßen ausdrücken: für jeden Punkt in der A C gibt es einen entsprechenden in der D E. Dawider läßt sich nichts einwenden, weil zwischen je zwei Punkten eine unendliche Menge anderer noch eingeschoben werden kann. Jede Linie daher, welche man zu theilen und deren letzte Theile man zu erreichen strebt, läßt sich mit der Reihe der natürlichen Zahlen vergleichen, von denen je zwei zwischen sich eine unendliche Reihe von Brüchen haben. Jedes Paar der zunächst stehenden Brüche wird unter sich wieder durch eine unendliche Reihe von Brüchen getrennt, so daß das Ganze das Ansehen eines Fächersystems ineinander geschobener Unendlichkeiten gewinnt, in welchem das nachfolgende und aufwickelnde Denken zuletzt den Faden verlieren zu müssen glaubt. Allein welcher Anhänger der starren Linie würde sich nicht sträuben gegen die Annahme: daß durch Herausnahme eines einzigen Punktes c aus der Mitte der begrenzten Linie a b, diese in zwei Stücke getheilt wird, deren jedes jetzt auf der Seite gegen c hin unbegrenzt ist, und sich dem Orte dieses c in's Unendliche nähert? Abgesehen davon, daß er schon die Einschließung unendlich vieler Raumpunkte in endliche Grenzen nicht zugesteht, und eine Linie nicht glaubt summiren zu können, bevor er sie nicht durch endliche Wiederholung des reinen Aneinander construirt hat, abgesehen davon, würde er nicht den Kopf schütteln über die Behauptung, die Linie a b, deren Grenzpunkte ich hinweggenommen, sei nun unbegrenzt und auf beiden Seiten unendlich? Er würde sich kaum von der Vorstellung losmachen können, daß nach Hinwegnahme der Grenzpunkte a und b die beiden nächsten Punkte z. B. c und d neue Grenzpunkte werden, sowie wenn man von einer Reihe Soldaten die beiden Flügelmänner wegnimmt, ihre nächsten Nebenmänner an ihre Stelle treten.