Unter den auf uns gekommenen Werken Euklids nehmen die »Elemente« den ersten Platz ein. Sie wurden wegen ihrer Vollständigkeit und ihrer strengen Beweisführung in solchem Grade als mustergültig anerkannt, daß sie bis in die neueste Zeit hinein sehr oft dem Anfangsunterricht zugrunde gelegt wurden. In seine »Elemente« hat Euklid im wesentlichen das damals bekannte mathematische Wissen aufgenommen und es, wo dies noch nicht geschehen war, auf strenge Beweise gestützt. Das Werk umfaßt die Geometrie der Ebene und des Raumes und geht auch auf die Lehre von den Zahlen, als der Grundlage allen Messens, ein.
Eine genauere Inhaltsangabe der 13 Bücher, in welche die »Elemente« Euklids zerfallen, findet sich bei Cantor (Gesch. d. Mathematik Bd. I. S. 221–252)[376]. Das 1. Buch handelt von den Linien, Dreiecken und Parallelogrammen. Den Abschluß bildet der pythagoreische Lehrsatz. Das 2. Buch gipfelt in der Aufgabe, für jede gegebene, geradlinige Figur ein gleich großes Quadrat zu zeichnen. Im folgenden Buch wird dann die Lehre vom Kreise behandelt. Das vierte handelt von den ein- und umgeschriebenen Vielecken. Die Konstruktion des Fünfecks macht die Anwendung des goldenen Schnitts erforderlich. Das 6. Buch ist dadurch besonders fesselnd, daß uns darin die erste Lösung einer Maximum-Aufgabe begegnet. Es wird nämlich gezeigt, daß x(a - x) seinen größten Wert erhält, wenn x = a/2 wird.
Im 7., 8. und 9. Buche findet sich die Lehre von den Zahlen. Begonnen wird mit teilerfremden Zahlen und solchen, die ein gemeinsames Maß besitzen. Die Auffindung geschieht wie heute durch fortgesetzte Teilung des letztmaligen Divisors durch den erhaltenen Rest. Ferner werden die Proportionen und die Primzahlen untersucht und z. B. bewiesen, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Dann lehrt Euklid die Summierung der geometrischen Reihe und befaßt sich mit Untersuchungen über irrationale Zahlen. Das 12. Buch handelt von der Pyramide, dem Kegel, dem Zylinder und der Kugel. Euklid läßt den Zylinder durch Drehung eines Rechtecks um eine feststehende Seite und den Kegel, sowie die Kugel durch eine entsprechende Drehung eines Dreiecks bzw. eines Halbkreises entstehen. Er erwähnt zwar, daß sich die Inhalte von Kugeln wie die Kuben ihrer Durchmesser verhalten, den Inhalt der Kugel vermochte jedoch erst Archimedes zu bestimmen. Auch findet sich bei Euklid schon die Bemerkung, daß man durch den schrägen Schnitt eines Zylinders oder eines Kegels eine wie ein Schild aussehende Kurve (die Ellipse) erhalte[377].
Das 13. Buch endlich handelt von den Polyedern, die sich aus regelmäßigen Vielecken bilden lassen. Es schließt mit der Bemerkung, daß es nur fünf regelmäßige Polyeder geben könne, nämlich das Tetraeder, das Oktaeder und das Ikosaeder, die von Dreiecken begrenzt sind, den Würfel und das von Fünfecken eingeschlossene Dodekaeder[378].
Die Klarheit und die strenge Form der Beweisführung, die Euklid geschaffen, sind den späteren griechischen Mathematikern eigen geblieben. Doch fehlt ihnen meist noch der Sinn für eine allgemeinere Fassung der Probleme. Soviel Fälle bezüglich der Lage von Linien in einer Aufgabe möglich sind, soviel Probleme waren auch für die griechische Mathematik vorhanden[379]. Daher sehen wir oft ihre hervorragendsten Schöpfer sämtliche, mitunter sehr zahlreichen Fälle eines Problems erledigen, ohne durch eine Erweiterung der Begriffe zu allgemeineren Sätzen zu gelangen. Daß der neueren Mathematik in dieser Hinsicht gelang, was der griechischen versagt blieb, liegt daran, daß erst in der viel später entstehenden Verknüpfung der Geometrie mit der Algebra ein Mittel zur allgemeineren Lösung mathematischer Aufgaben gewonnen wurde.
Die Bedeutung der Euklidischen »Elemente« wird durch folgende Worte treffend gekennzeichnet: »Was der Alexandriner Euklid um 300 vor Beginn unserer Zeitrechnung schrieb, ist auch heute in Form und Inhalt der eiserne Bestand der Schulmathematik. Nur wenig Zusätze sind dem Euklidischen System eingegliedert worden. Stolzer als ein Denkmal von Stein, schärfer und reiner in der Linienführung als irgend ein Kunstwerk, hat es sich der Jetztzeit erhalten. Was der junge Grieche durchdenken, lernen und üben mußte, das arbeitet mit gleicher Andacht heute der strebsame Schüler durch[380].«
Euklid hatte das mathematische Wissen seiner Zeit in ein System gebracht[381]. Er hatte zwar viel Eigenes hinzugefügt. Der weitere Ausbau und die Erschließung neuer Gebiete erfolgte jedoch durch Archimedes. In ihm begegnet uns der genialste Mathematiker des Altertums. Zwischen Aristoteles, dem Hauptrepräsentanten des vorigen Zeitabschnitts, und Archimedes liegt ein Zeitraum von etwa hundert Jahren. Dieser Zeitraum ist geschichtlich dadurch von Bedeutung, daß seit dem Eroberungszuge Alexanders der Orient mit den Völkern des Mittelmeeres in die engste Fühlung kam, während gleichzeitig ein neues Reich, dasjenige der Römer, zunächst das westliche Mittelmeerbecken, später aber die gesamte alte Kulturwelt zu umfassen strebte. Eine ähnliche Expansivkraft entfaltete auf dem Gebiete der Kunst und der Wissenschaft das Griechentum, das überall, im fernen Orient, in Ägypten, in Italien, ja selbst an den Küsten des westlichen Mittelmeeres seine Stützpunkte fand. Griechentum und Römerherrschaft sollten dann im Verlaufe der nächsten Jahrhunderte die Bindemittel abgeben, welche die so verschiedenartigen Völker Südeuropas, Vorderasiens und Nordafrikas bis zu einem gewissen Grade zu einer staatlichen, geistigen und Handelsgemeinschaft verband, einer Gemeinschaft, welche den Boden für die so überraschend schnelle, alles bezwingende Ausbreitung des Christentums bereiten half.
Das Leben und die Bedeutung des Archimedes.
Bevor wir uns mit dem weiteren Ausbau der reinen und der angewandten Mathematik durch Archimedes beschäftigen, wollen wir uns in aller Kürze die bisherige Entwicklung der Mathematik vergegenwärtigen und dann einen Blick auf die Lebensverhältnisse des großen Mathematikers werfen.
Überwog im 4. Jahrhundert v. Chr. noch der philosophierende, auf die Entwicklung von umfassenden Lehrsystemen gerichtete Grundzug des griechischen Geistes, so tritt uns in dem auf Alexander den Großen folgenden Zeitabschnitt mehr die Richtung auf das Empirische und Nützliche, in Verbindung mit einer raschen Entwicklung der Mathematik und einer Beschränkung der Spekulation auf ein bescheideneres Maß, entgegen. Neben den Forderungen des praktischen Lebens (Handel, Vermessungen usw.) waren es drei Probleme der reinen Wissenschaft, welche die Mathematik bei den Griechen schon vor Archimedes[382] auf eine ungewöhnliche Höhe gebracht hatten. Es waren dies die Quadratur des Kreises, die Würfelverdoppelung und die Dreiteilung des Winkels. So hatten die vergeblichen Versuche, den Kreis zu quadrieren, Hippokrates zur Auffindung des Satzes geführt, der noch jetzt unter dem Namen der Lunulae (kleine Monde) Hippokratis bekannt ist. Hippokrates[383] hatte mit Hilfe des erweiterten pythagoreischen Lehrsatzes bewiesen, daß sich zwei von krummen Linien begrenzte Flächen auf ein aus geraden Linien gebildetes Flächenstück zurückführen lassen[384]. Die Würfelverdoppelung oder das Delische Problem forderte, die Seite (a) eines Würfels zu finden, der doppelt so groß ist wie ein gegebener Würfel. Anders ausgedrückt, wenn x3 = 2a2 gegeben ist, soll x durch Konstruktion gefunden werden. Das Bemühen, dies Problem zu lösen, wurde durch die Auffindung einer Anzahl neuer Kurven (Cissoide, Konchoide, Kegelschnitte) belohnt. Auch das Problem der Dreiteilung des Winkels führte zur Auffindung neuer, bestimmte Eigenschaften aufweisender und auf Grund derselben konstruierbarer, krummer Linien. Eine Zusammenfassung der mathematischen Kenntnisse der Griechen erfolgte durch Euklid, von dem zu Beginn des vorigen Abschnitts die Rede gewesen ist.