Infinitesimalbetrachtungen, die sich schon bei Euklid und Archimedes finden, vermochten die Alten noch nicht zu einer allgemeinen Methode zu erweitern. Die alte Mathematik hat vielmehr in den Werken des Archimedes und des Apollonios das erreicht, was ohne den Besitz der Infinitesimalmethode und des analytischen Kalkuls, die erst im 16. und 17. Jahrhundert zu allgemeinerer Anwendung gelangten, zu erreichen möglich war[400]. Mit der Lehre von den Kegelschnitten wurde für die spätere Entwicklung der Astronomie und der Mechanik eine wichtige Grundlage geschaffen. Das gleiche gilt auch von der Trigonometrie, die aus den Bedürfnissen der Astronomie entsprang und von den späteren Alexandrinern begründet wurde. Wie wir später sehen werden, konnte Aristarch, als er den Sonnenabstand aus gegebenen Stücken eines Dreiecks ohne die Hilfsmittel der Trigonometrie berechnete, die gesuchte Größe nur auf umständlichem Wege durch Näherungswerte bestimmen.
Anhangsweise sei hier noch eine Schrift des Archimedes erwähnt, die früher viel gelesen wurde und auch heute noch Beachtung verdient. Es ist dies seine »Sandesrechnung«. Zum Verständnis der in dieser Schrift gelösten Aufgabe müssen wir vorausschicken, daß die Griechen etwas unserem heutigen Ziffernsystem Entsprechendes noch nicht besaßen. Die Zahlen wurden durch Buchstaben bezeichnet. Größere Zahlen zu schreiben, war daher sehr unbequem, weil man das Prinzip des Stellenwertes, das erst durch Vermittlung der Araber aus dem Orient nach Europa gelangte, noch nicht kannte und auch noch kein Zeichen für die Null besaß. Es ist erstaunlich, wie weit es die Alten trotzdem in der Arithmetik gebracht haben. Wagte sich Archimedes doch sogar an die geometrische Reihe 1, 1/4, 1/16, 1/64..., deren Summe er gleich 4/3 fand. Sie diente ihm bei der Berechnung der Fläche des Parabelabschnittes. Auch vermochte er es schon, schwierige Quadratwurzeln zu berechnen[401].
In der Sandesrechnung[402] wird gezeigt, daß sich jede, noch so große Menge durch eine Zahl ausdrücken läßt. Indem Archimedes die Abmessungen der aristarchischen Fixsternsphäre zugrunde legt, berechnet er, wieviel Sandkörner von bestimmter Größe darin Platz finden können. Die meisten Sternkundigen verstanden zur Zeit des Archimedes unter dem Ausdruck Welt eine Kugel, deren Zentrum der Mittelpunkt der Erde und deren Radius eine gerade Linie zwischen den Mittelpunkten von Erde und Sonne ist. In seiner Schrift »Wider die Sternkundigen«, so erzählt uns Archimedes, suchte nun Aristarch von Samos zu beweisen, daß die Welt ein Vielfaches der oben bezeichneten Kugel ist. Er sei zu der Annahme gelangt, die Fixsterne samt der Sonne seien unbeweglich, die Erde aber werde in einer Kreislinie um die Sonne, die inmitten der Erdbahn stehe, herumgeführt. »Der Durchmesser der Fixsternkugel möge sich«, sagt Archimedes, »zu demjenigen der Welt (in dem zuerst erwähnten Sinne) verhalten, wie der letztere zum Durchmesser der Erde.« Er behauptet dann, wenn es auch eine Sandkugel gäbe von der Größe dieser aristarchischen Fixsternsphäre, so lasse sich doch eine Zahl angeben, deren Größe selbst die Menge der Körner in der gedachten Kugel übertreffe. Nach einigen Voraussetzungen über den Umfang der Erde, das Größenverhältnis von Erde und Sonne, aus dem, nach Bestimmung des scheinbaren Sonnendurchmessers, die Entfernung der Sonne zu 10000 Erdhalbmessern ermittelt wird, berechnet Archimedes die Zahl der Sandkörner, die innerhalb der Fixsternsphäre Platz finden, auf 1063 oder 1000 Dezillionen.
Archimedes entwickelt die Prinzipien der Mechanik.
An hervorragenden Mathematikern besaß das Altertum keinen Mangel. Wir brauchen neben Archimedes nur Euklid und Apollonios zu nennen. Es gab aber niemanden bis in die neuere Periode der Geschichte der Wissenschaften, der ähnliche Leistungen auf dem Gebiete der Mechanik vollbracht hätte wie Archimedes. Letzterer muß als der Hauptbegründer dieser Wissenschaft bezeichnet werden. Es sind die wichtigsten Sätze vom Hebel, vom Schwerpunkt und aus der Hydrostatik, die uns bei Archimedes, zum ersten Male klar ausgedrückt, begegnen. Die Gesetze vom gleicharmigen Hebel spricht Archimedes in folgenden Worten aus:
a) Gleich schwere Größen, in ungleichen Entfernungen wirkend, sind nicht im Gleichgewicht, sondern die in der größeren Entfernung wirkende sinkt.
b) Ungleich schwere Größen sind, bei gleichen Entfernungen, nicht im Gleichgewicht, sondern die schwerere wird sinken.
c) Wenn ungleich schwere Größen in ungleichen Entfernungen im Gleichgewicht sind, so befindet sich die schwerere in der kleineren Entfernung.
d) Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht, sobald sie ihren Entfernungen umgekehrt proportional sind.
An den letzten, das Hebelgesetz zum Ausdruck bringenden Satz knüpft sich das Archimedes zugeschriebene Wort: »Gib mir einen Ort, wo ich mich hinstellen kann, und ich will die Erde bewegen[403].«