Gay-Lussac hatte dem Chlor als analoges Element das Jod zur Seite gestellt. Im Jahre 1826 entdeckte Balard das Brom in der Mutterlauge des Meerwassers. Er stellte sofort eine ausgedehnte Untersuchung dieses Elementes an und erkannte, daß es dem Chlor und Jod vollkommen analog sei. Daß auch das Fluor in diese Gruppe gehört und Fluorwasserstoff (Flußsäure) dem Chlorwasserstoff entsprechend zusammengesetzt ist, sprach zuerst Ampère aus. Die Bemühungen, das Fluor zu isolieren, hatten der außerordentlichen Affinität dieses Elementes wegen zunächst keinen Erfolg. Dieser Versuch, um den sich sowohl Davy als Gay-Lussac vergeblich abmühten, gelang erst Moissan durch eine passend ausgeführte elektrolytische Zersetzung der Flußsäure. Immerhin ist die Erkenntnis der vier Halogene als einer scharf charakterisierten Gruppe von Elementen schon während der ersten Jahrzehnte des 19. Jahrhunderts erfolgt. Die Erforschung ihrer Glieder ist für die weitere Entwicklung der theoretischen nicht minder als der technischen Chemie von großer Bedeutung gewesen.
20. Fortschritte in der Anwendung der Mathematik auf die Naturwissenschaften.
Eine ähnliche Förderung und Durchdringung, wie sie die Physik und die Chemie vor allem durch Gay-Lussac erfuhr, vollzog sich zwischen der Physik und der Mathematik besonders durch Gauß.
Carl Friedrich Gauß wurde am 30. April 1777 in Braunschweig geboren. Sein Vater war Baumeister und Kassenverwalter. Er wird als ein sehr tätiger und willensstarker Mann geschildert. Die Mutter war fleißig und sorgsam. Sie entstammte gleich dem Vater einer einfachen Handwerkerfamilie. Trotz aller vortrefflichen Eigenschaften gelang es den Eltern des frühreifen Knaben nicht, zu einigem Wohlstand zu gelangen. Gauß hätte daher nicht die Gelehrtenlaufbahn einschlagen können, wenn ihm nicht von seinem 14. Lebensjahre ab die Unterstützung seines Landesfürsten, des Herzogs Ferdinand von Braunschweig, zu Teil geworden wäre. Nachdem er das Gymnasium seiner Vaterstadt und das dortige Collegium Carolinum besucht hatte, bezog er im Jahre 1795 die Universität Göttingen. Ihr ist Gauß trotz aller aus Berlin und Petersburg an ihn herantretenden Verlockungen bis an sein Lebensende treugeblieben.
Seine Lehrmeister waren vor allem die Werke von Newton, Euler und Lagrange. In seine von 1795 bis 1798 dauernde Studienzeit fallen schon einige hervorragende mathematische Entdeckungen. So fand er bei seiner Beschäftigung mit der Kreisteilung, kaum 18 Jahre alt, die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks. Er löste damit ein Problem, das den Mathematikern seit den Zeiten Euklids Schwierigkeiten bereitet hatte. Eine ähnliche Bereicherung erfuhr die Algebra durch seine 1799 erschienene Abhandlung über »die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades«[516]. Es handelte sich um den Beweis, daß jede Gleichung m ten Grades, also ein Ausdruck von der Form:
Xm + Axm-1 + Bxm-2 + .... + M = 0
stets m Wurzeln besitzt, oder daß sie, was dasselbe bedeutet, in m Faktoren (x - α), (x - β), (x - γ) usw. zerlegt werden kann, deren Produkt der linken Seite des obigen Ausdrucks gleich ist. Dieser wichtigste Satz der Theorie der algebraischen Gleichungen, auf dem die ganze höhere Algebra beruht, hatte zwar schon d'Alembert, Euler und andere Mathematiker beschäftigt. Der vollkommen strenge Beweis gelang indes erst Gauß.
Zwei Jahre später folgte das arithmetische Hauptwerk des großen Mathematikers, die Disquisitiones arithmeticae (1801). Dies Werk, das er seinem hohen Gönner, dem Herzog Ferdinand von Braunschweig widmete, besitzt für die Zahlentheorie eine geradezu grundlegende Bedeutung. Einige Abschnitte der Disquisitiones wurden neuerdings in deutscher Übersetzung herausgegeben[517].
In demselben Jahre, in welchem die Disquisitiones erschienen, wurde das unvergleichliche Genie eines Gauß auf das astronomische Gebiet gelenkt. Am 1. Januar 1801 hatte Piazzi den ersten Planetoiden entdeckt, den er Ceres nannte. Piazzi verfolgte das neue Gestirn durch einen Bogen von 9 Graden. Dann verschwand es in der Abenddämmerung, und es war sehr fraglich, ob man es bei der mangelhaften Kenntnis seiner Bahnelemente wieder auffinden werde. Gauß hörte von dem Problem, und da er sich gerade mit theoretisch-astronomischen Untersuchungen befaßte, so berechnete er die Bahn des neuen Planeten nach einer von ihm herrührenden Methode und sandte sein Ergebnis an eine astronomische Zeitschrift, welche als Sammelstelle[518] alle ihr eingesandten, die Ceres betreffenden Berechnungen veröffentlichte. Es war nämlich sehr wichtig, die Ephemeride dieses Planeten für den Zeitpunkt zu kennen, wenn man seinen Wiederhervortritt aus den Strahlen der Sonne erwarten durfte. Die Ephemeride von Gauß wurde mit dem wenig schmeichelhaften Zusatz veröffentlicht, daß die Redaktion auch ihren Abdruck für geboten halte, weil man eben nicht wissen könne, welche Berechnung die richtige sei.