Man kann sich die Überraschung ausmalen, als die Ceres gerade auf Grund der Ephemeride von Gauß, der den Astronomen noch ganz unbekannt war, wieder aufgefunden wurde. Jetzt galt es, die Bahnelemente dieses Planeten zu berichtigen. Und wieder war es Gauß, der nach jedem Bekanntwerden neuer Daten verbesserte Bahnelemente an jene astronomische Zeitschrift einsandte. Gewiß nicht ohne das Gefühl einer gewissen Beschämung bemerkte die Redaktion schließlich, Gauß müsse eine völlig neue Methode besitzen, die ihm dasjenige, wozu sonst eine umfangreiche Rechnung nötig sei, in wenigen Zügen liefere. Diesmal hatte man das Richtige getroffen. Einmal befand sich Gauß schon damals im Besitze seiner Methode der kleinsten Quadrate, die es ihm ermöglichte, in einer Reihe von Beobachtungen den der Wahrheit am nächsten kommenden Wert zu berechnen. Ferner hatte er auch neue astronomische Methoden gefunden, die es ihm gestatteten, innerhalb einer Stunde eine Bahnberechnung auszuführen, zu welcher Euler noch drei Tage gebraucht hatte[519]. Zur Veröffentlichung dieser neuen Methoden schritt Gauß erst, nachdem er (1807) zum Professor der Mathematik und zum Leiter der Sternwarte in Göttingen ernannt war. Die Veröffentlichung erfolgte unter dem Titel: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium. Eine deutsche Bearbeitung dieses Fundamentalwerkes, das Gauß übrigens ursprünglich in deutscher Sprache abgefaßt hat, erschien erst 1865[520]. Mit der Veröffentlichung der »Theoria motus« begann für die rechnende Astronomie ein neues Zeitalter. Man verließ allgemein die älteren Methoden, um diejenigen von Gauß in Gebrauch zu nehmen. In der »Theoria motus« gab Gauß auch seine Methode der kleinsten Quadrate bekannt, in deren Besitz er sich schon, wie er selbst angab, seit 1795 befand. Inzwischen war auch Légendre auf die gleiche Methode gekommen. Er hat sie 1806 in den Worten ausgesprochen[521]: »Sind durch Beobachtungen mehr Gleichungen gegeben, als Unbekannte zu bestimmen sind, so sind die richtigsten Werte der letzteren diejenigen, für welche die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum ist.« Von französischer Seite wurden deshalb Prioritätsansprüche hinsichtlich dieser Methode erhoben und, wenn das Datum der Veröffentlichung allein darüber zu entscheiden hätte, gewiß mit Recht. Gauß gebührt indessen außer der selbständigen und seinen eigenen Angaben nach viel früheren Entdeckung das Verdienst, daß er es war, der diese Methode in einem fundamentalen Werke[522] wissenschaftlich begründete und die Begriffe schuf, auf denen alle neueren Arbeiten über diese Methode beruhen.
Von hervorragender Wichtigkeit sind die Abschnitte der Disquisitiones, welche die Rechnung mit Determinanten betreffen[523]. Die ersten Anfänge dieses wichtigen Hilfsmittels der neueren Mathematik finden sich schon bei Leibniz. Leibniz machte zuerst darauf aufmerksam, daß die Kombinationslehre der Algebra bei der Auflösung von Gleichungen wertvolle Dienste zu leisten vermöge. Der eigentliche Begründer der Determinantenlehre war Cramer. Er veröffentlichte 1750 eine neue Methode, um mit Hilfe der Permutationsrechnung n Gleichungen ersten Grades mit n Unbekannten aufzulösen. Laplace, sowie Lagrange knüpften an diese Arbeit weitere Untersuchungen an. Der bedeutendste Fortschritt auf dem neu erschlossenen Gebiete erfolgte jedoch durch Gauß. Von ihm rührt auch der Ausdruck Determinante her. Die neueste Entwicklung der Determinantenlehre knüpft an Jacobi an, doch müssen wir uns auf die bloße Erwähnung seiner Abhandlungen über diesen Gegenstand beschränken[524].
Unter den späteren mathematischen Arbeiten von Gauß sind besonders zwei, wenn auch in aller Kürze, zu berücksichtigen, weil sie sich mit physikalischen Problemen befassen. Es sind dies eine Abhandlung über die Gestalt von Flüssigkeiten und ein grundlegender Beitrag zur Entwicklung der für die neuere mathematische Physik so wichtigen Potentialtheorie.
Die Theorie der Flüssigkeiten hatte Laplace in einem Anhange zu seiner »Mécanique céleste« behandelt. Er hatte angenommen, daß zwischen den Flüssigkeitsteilen außer der gewöhnlichen Anziehung, welche dem Quadrate des Abstandes umgekehrt proportional ist, noch andere anziehende Kräfte wirken. Dieser zweite Teil der Anziehung sei ganz unmerklich, sobald es sich um meßbare, wenn auch sehr kleine Abstände handele. Dagegen könne diese zweite, Molekularanziehung genannte Kraft in unmeßbar kleinen Entfernungen die gewöhnliche Anziehung bei weitem übertreffen.
Laplace hatte unter dieser Voraussetzung die Eigenschaften der Molekularkräfte der Rechnung unterworfen und war auf diesem Wege zu einer Erklärung der Kapillarität, sowie der Oberflächenform der Flüssigkeiten gelangt. Diese Untersuchungen[525], welche Gauß zu den »schönsten Bereicherungen« zählte, welche die Naturwissenschaften dem großen französischen Mathematiker zu verdanken hätten, waren jedoch in wesentlichen Punkten unzureichend und unvollständig geblieben. Gauß suchte deshalb von neuem, welche Gleichgewichtsform Flüssigkeiten annehmen, wenn sie unter dem Einfluß der Schwere und dem Einfluß der von ihnen selbst und dem Gefäße ausgeübten Molekularkräfte stehen[526]. Er verfuhr dabei wesentlich anders als Laplace, indem er sich, ausgehend von den Grundlagen der Dynamik, des Prinzips der virtuellen Bewegungen bediente. Aus der auf diesem Wege abgeleiteten Formel vermochte Gauß mit Leichtigkeit das Grundphänomen der Kapillarität abzuleiten, daß nämlich in zylindrischen Kapillarröhren die Senkung oder Hebung einer Flüssigkeit dem Durchmesser des Rohres umgekehrt proportional ist. Das zweite der erwähnten mathematischen Werke zeigt Gauß in engster Beziehung zu einer Theorie, die für die neuere mathematische Physik mehr wie jede andere grundlegend geworden ist, Es ist die in ihren Anfängen bis in die siebziger Jahre des 18. Jahrhunderts zurückreichende Potentialtheorie. Damit der hervorragende Anteil, den Gauß an der Schöpfung dieser Theorie genommen, gewürdigt werden kann, ist es nötig, in aller Kürze auf die Arbeiten seiner Vorgänger zurückzugreifen.
Der Ausgangspunkt für die Entwicklung der erwähnten neuen mathematischen Disziplin ist Newtons Gravitationsgesetz. Mit der Auffindung dieses Gesetzes war nämlich eine Reihe von Problemen gegeben, die für die Weiterentwicklung der Mathematik eine treibende Kraft bedeuteten. Das Gravitationsgesetz, nach welchem die Anziehung durch den Ausdruck (m · m')/r2 bestimmt ist, galt zunächst für zwei materielle Punkte oder für zwei materielle Systeme, deren Ausdehnung gegenüber der sie trennenden Entfernung nicht in Betracht kommt. Solche Systeme ließen sich so betrachten, als ob ihre Massen in den beiden Schwerpunkten vereinigt wären und von diesen Punkten in der Richtung der Verbindungslinie wirkten. Sobald man aber die Körper als materielle Systeme auffaßte, bei denen jeder der unendlich vielen Teile dem Newtonschen Gesetze gemäß auf andere materielle Systeme oder, um den einfacheren Fall vorwegzunehmen, auf einen materiellen Punkt wirkt, so war damit eine Fülle von Problemen, im wesentlichen mathematischer Art, gegeben, die mit den bisherigen Hilfsmitteln nicht gelöst werden konnten. Es bedurfte der Einführung einer für die Attraktionsrechnung charakteristischen Funktion, die sich auf die Summe oder das Integral sämtlicher wirkenden Massenteilchen beziehen mußte und die man später als das Potential der Massen bezeichnet hat. Vor allem galt es, die Anziehung von Ellipsoiden – denn mit solchen und nicht mit Kugeln hatte es die Astronomie zu tun – auf einen materiellen Punkt zu bestimmen. Newton beharrte auch hier bei seinem synthetisch-geometrischen Verfahren und fand z. B., daß eine von zwei ähnlichen, konzentrischen Ellipsoiden begrenzte homogene Schale auf einen beliebigen, in ihrem Innern befindlichen Punkt keine Anziehung ausübt.
Ein Fortschritt in der Lösung derartiger Probleme[527] erfolgte indessen erst, als Lagrange das analytische Verfahren auf die zahlreichen, aus dem Attraktionsgesetz entspringenden Aufgaben anwandte. Lagrange suchte einen allgemeinen Ausdruck für die Kraft, mit der ein beliebig gestalteter Körper einen beliebig gelegenen Punkt anzieht. Er zeigte, daß die Anziehung, die ein aus einzelnen materiellen Punkten bestehendes System ausübt, sich in Komponenten zerlegen läßt, die sich als die partiellen Differentialquotienten einer Funktion darstellen lassen[528]. Gleichzeitig führte er, um die Lösung der Attraktionsaufgaben zu erleichtern, nach dem Vorgange Bernoullis, Polarkoordinaten ein. Das Ergebnis dieser Bemühungen war, daß Lagrange die meisten der bis dahin bekannt gewordenen Sätze über die Attraktion analytisch zu beweisen vermochte. Auf Lagrange folgt Laplace. Er wandte die von Lagrange aufgestellte Funktion zuerst auf zusammenhängende Massen an und löste in seiner Théorie des attractions des sphéroides et de la figure des planètes[529] das vielumworbene Ellipsenproblem, indem er die Anziehung dreiachsiger Ellipsoide auf einen außerhalb gelegenen Punkt bestimmte. Laplace gelangte zu einer Gleichung für die zweiten partiellen Derivierten der von Lagrange entdeckten und von Laplace mit dem noch jetzt üblichen Buchstaben V bezeichneten Funktion. Dieser noch heute als Laplacesche Gleichung bezeichnete Ausdruck lautet:
δ2V/δx2 + δ2V/δy2 + δ2V/δz2 = 0.
In ungeahntem Maße wuchs die Bedeutung des von Lagrange und Laplace geschaffenen Algorithmus, als Coulomb nachgewiesen hatte, daß auch die magnetischen und die elektrischen Anziehungen dem Newtonschen Gravitationsgesetz entsprechend vor sich gehen. Ein Versuch, die Analyse unter Anwendung des Potentialbegriffes auf die Elektrizität und den Magnetismus anzuwenden, rührt von dem Engländer Green (1793-1841) her[530]. Dieser Versuch datiert vom Jahre 1828. Vorangegangen war nur Poisson, der in einer analytischen Untersuchung die Verteilung der Elektrizität an der Oberfläche leitender Körper bestimmt und die Herrschaft der Analysis auch auf das Gebiet des Magnetismus auszudehnen versucht hatte. An diese Arbeiten Poissons und an die von Laplace gewonnene Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Wichtigkeit für alle nach dem Newtonschen Gesetze wirkenden Kräfte er erkannte, knüpfte Green an. Ihn beseelte der Wunsch, eine Kraft von solch allgemeiner Wirksamkeit wie die Elektrizität, soweit wie möglich, der Rechnung zu unterwerfen. Dazu bediente er sich der Analysis, einmal, um die »außerordentliche Macht dieses wunderbaren Gedankenwerkzeugs« zu offenbaren; dann aber auch, um diese Macht zu vergrößern.