Green gebrauchte den Ausdruck Potentialfunktion für jene Funktion, die Laplace mit V bezeichnete und die Gauß später Potential genannt hat. Fast alle anziehenden und abstoßenden Kräfte sind nach Green so geartet, daß folgende Beziehung stattfindet: Wirkt ein Körper auf einen materiellen Punkt, so kann die auf diesen Punkt in einer gewissen Richtung wirkende Kraft durch einen partiellen Differentialquotienten einer gewissen Funktion der Koordinaten, welche die Lage des Punktes im Raume darstellen, ausgedrückt werden. Die Betrachtung dieser Funktion ist für viele Untersuchungen von großer Bedeutung, deshalb wurde sie von Green mit einem besonderen Namen bezeichnet[531].
Green geht von der Laplaceschen Gleichung
δ2V/δx2 + δ2V/δy2 + δ2V/δz2 = 0
aus. Sie gilt für jeden außerhalb des Körpers liegenden Punkt, dessen Koordinaten x, y, z sind. Green führt für diese Gleichung das kürzere Symbol δV = 0 ein und zeigt zunächst, daß für einen Punkt im Innern des Körpers die Gleichung δV + 4πρ = 0 besteht, δV somit den Wert -4πρ annimmt. Dabei ist unter ρ die elektrische Dichtigkeit im Punkte p zu verstehen. Die Laplacesche Gleichung für einen äußeren Punkt stellte sich danach nur als einen speziellen Fall der neuen Gleichung δV + 4πρ = 0 dar, da ρ für einen äußeren Punkt = 0 wird. Beim Durchgange durch die Oberfläche macht somit die Potentialfunktion einen Sprung um 4πρ. Das Ergebnis der Greenschen Untersuchung gipfelt darin, daß sich die elektrische Dichtigkeit aus der Potentialfunktion und letztere aus jener berechnen läßt. Nachdem Green die allgemeinsten Grundlehren der Elektrizitätstheorie und im Zusammenhange damit wichtige funktionstheoretische Sätze[532] entwickelt hatte, ging er zu einigen besonderen Fällen über. Die erste Anwendung betraf die Leydener Flasche. Es ergab sich folgendes: Grenzt man durch eine geschlossene Kurve ein Stück der inneren Belegung ab, und schneidet man ferner ein korrespondierendes Stück aus der äußeren Belegung heraus, indem man längs der ganzen Kurve Normalen errichtet, so ist die Summe der Ladungen auf diesen korrespondierenden Flächenstücken gleich Null. Die Flächenstücke haben nämlich gleiche und entgegengesetzte Ladungen, die sich gegenseitig genau neutralisieren[533].
Mit den experimentell gefundenen Tatsachen vollkommen übereinstimmende Ergebnisse erhielt Green ferner, als er seine Theorie auf die Influenzerscheinungen anwandte. Green betrachtet zunächst den Fall, daß eine vollkommen leitende, hohle Schale von irgend welcher Form und Dicke der Wirkung beliebiger, außerhalb befindlicher, elektrischer Körper ausgesetzt ist. In der Schale wird dann ein elektrischer Zustand induziert, dessen Wirkung auf einen im Innern befindlichen, mit Elektrizität geladenen Punkt, wie Green berechnet, gleich Null ist[534].
Green betrachtet dann den Fall, daß zwei Kugeln von verschiedenem Radius durch einen dünnen langen Draht verbunden werden. Er untersucht das Verhältnis ihrer Ladungen beim Gleichgewicht. Die Rechnung ergibt, daß sich die mittleren elektrischen Dichtigkeiten umgekehrt wie die Radien der Kugeln verhalten. Läßt man den Radius der einen Kugel darauf unendlich klein werden, so hat man den besonderen Fall der Spitzenwirkung[535].
Greens Arbeit hatte ein merkwürdiges Schicksal. Da Green in ländlicher Abgeschiedenheit das Geschäft seines Vaters verwaltete und der gelehrten Welt unbekannt blieb, so wurden seine Abhandlungen weder in England noch auf dem Festlande beachtet. Sie gerieten in Vergessenheit, bis die in ihnen enthaltenen wichtigen Ergebnisse durch Gauß von neuem entdeckt wurden. Erst dann lenkte der Physiker W. Thomson, um seinem Lande die Priorität zu wahren, die Aufmerksamkeit auf Greens Abhandlungen und veröffentlichte die wichtigste von neuem[536]. Eine deutsche Übersetzung erschien in Ostwalds Klassikern[537].
Die neueste Entwicklung der Potentialtheorie als einer selbständigen mathematischen Disziplin beginnt im Jahre 1849 mit dem Erscheinen der grundlegenden Abhandlung von Gauß[538]. Dem großen Deutschen gelang es, nicht nur die wichtigsten von ihm gefundenen Sätze zum ersten Male streng zu beweisen, sondern die Theorie durch neue wichtige Sätze in solchem Grade zu bereichern, daß sie für die Physik und für die Funktionenlehre fortan die größte Bedeutung besaß.
Gauß entwickelte in jener Abhandlung allgemeine Sätze, die sowohl für die Gravitation als auch für die wichtigsten elektrischen und magnetischen Erscheinungen gelten. In dem Ausdruck (mm')/r2 bedeuten also m und m' entweder ponderable Materie oder die Mengen einer magnetischen oder drittens die Mengen einer elektrischen Flüssigkeit, die aufeinander eine, sei es anziehende, sei es abstoßende Kraft ausüben. Ausgeschlossen blieb die Wirkung des galvanischen Stromes auf das magnetische Fluidum, weil hier die Kraft nicht in der verbindenden Geraden wirkt und weil ihre Stärke nicht allein von der Entfernung, sondern auch von einem Winkel abhängt. Ausgeschlossen blieb auch die Wirkung, welche zwei Stromelemente aufeinander ausüben. Und zwar geschah dies wegen der Abhängigkeit der Erscheinungen von der Richtung der Stromelemente, die im übrigen in der verbindenden Geraden und dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional aufeinander einwirken. Gauß beschränkt sich also auf die drei zuerst genannten Fälle und versteht unter Masse nichts weiter als dasjenige, wovon Anziehung oder Abstoßung ausgeht.