Wirken solche anziehenden oder abstoßenden Kräfte m0, m', m'' usw. auf denselben Punkt aus den Entfernungen r0, r', r'' usw., so existiert eine Funktion V, die gleich der Summe aller m/r ist. Diese Funktion nennt Gauß das Potential der Massen. Es ist, in Worten ausgedrückt, die Summe aller wirkenden Massenteilchen, jedes durch seine Entfernung von jenem Punkte dividiert. Aus ihr lassen sich die Komponenten der ganzen auf den Punkt wirkenden Kraft ableiten. Diese Kraft p ist gegeben durch den Ausdruck:
p = √ ((δdV/δx)2 + (δV/δy)2 + (δV/δz)2).
Gauß führte darauf einen Begriff ein, der in seinen und den späteren Untersuchungen für die Potentialtheorie von der größten Bedeutung wurde. Er dachte sich durch alle Punkte, in denen das Potential ein und denselben Wert hat, eine Fläche gelegt. Eine solche Fläche scheidet den Raum, in welchem das Potential kleiner ist von demjenigen, wo es größer ist als der in jener Fläche herrschende Wert. Die Richtung der Kraft wird ferner in jedem Punkte einer solchen »Gleichgewichtsfläche« gegen die Fläche selbst normal sein. Die von Gauß als Gleichgewichtsflächen bezeichneten Flächen konstanten Potentials werden heute als »Niveauflächen« und die senkrecht zu einer Folge solcher Flächen stehenden Linien (die orthogonalen Trajektorien) als »Kraftlinien« bezeichnet.
Gauß zeigte auch, daß für alle Punkte des Raumes, die außerhalb der wirkenden Massen liegen, die Laplacesche Gleichung gilt. Liegt ein Punkt von der Dichte k im Innern des Körpers, so ergab sich in Übereinstimmung mit Green, daß der Laplacesche Ausdruck die Form -4πk annimmt. Bis dahin bietet Gauß also wenig Neues, doch sind seine Ableitungen bekannter Sätze einfacher und strenger als die früheren.
Unter den vielen neuen Sätzen, die Gauß entdeckte, ist einer der wichtigsten derjenige, den man den Satz von der äquivalenten Massentransportation genannt hat. Er lautet: Anstatt einer beliebigen gegebenen Massenverteilung D, die entweder bloß auf den inneren von einer geschlossenen Fläche S begrenzten Raum beschränkt ist oder bloß auf den äußeren Raum, läßt sich eine Massenverteilung E bloß auf die Fläche selbst substituieren. Dies hat zur Folge, daß die Wirkung von E der Wirkung von D gleich wird in allen Punkten des äußeren Raumes für den ersten Fall oder in allen Punkten des inneren Raumes für den zweiten. Von diesem Satze hat Gauß, wie wir sogleich des näheren sehen werden, in seiner berühmten Abhandlung über die Intensität des Erdmagnetismus eine Anwendung gemacht.
Wir gelangen damit zu einer neuen Phase in der wissenschaftlichen Entwicklung des großen Forschers. Durch Alexander von Humboldt war Gauß mit dem Physiker Wilhelm Weber bekannt geworden. Nachdem Gauß bewirkt hatte, daß Weber nach Göttingen berufen wurde, entstand zwischen beiden Männern ein ähnliches Verhältnis, wie es später zwischen Kirchhoff und Bunsen geherrscht hat.
Gauß und Weber nahmen gemeinsam, ihren Fähigkeiten entsprechend und sich dadurch gegenseitig ergänzend, ein Gebiet in Angriff, das der wissenschaftlichen Bearbeitung noch wenig erschlossen war. Es war das Gebiet des Erdmagnetismus. Existierten doch für diese Kraft damals weder geeignete Meßapparate, noch zusammenhängende, planmäßig an verschiedenen Orten angestellte Beobachtungen. Eine Änderung wurde erst durch das Vorgehen von Gauß und Weber herbeigeführt. In Göttingen entstand das erste magnetische Observatorium. Im Verein mit Humboldt vermochten Gauß und Weber nicht nur die deutschen, sondern auch die auswärtigen Regierungen für die Sache zu gewinnen. Infolgedessen wurde ein magnetischer Verein gegründet und ein Netz von Observatorien, die sämtlich nach dem Vorbilde der Göttinger Anstalt errichtet waren, über die ganze Erde ausgebreitet. Die Übereinstimmung ging so weit, daß nicht nur mit den Apparaten und nach den Angaben von Gauß beobachtet wurde, sondern daß man sich auf allen Observatorien der Göttinger Zeit bediente und sämtliche Beobachtungsergebnisse nach Göttingen sandte, wo sie von 1836-1841 als »Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins« veröffentlicht wurden. Auf diese Resultate baute Gauß seine allgemeine Theorie des Erdmagnetismus[539] auf. Es wurde zum ersten Male das magnetische Moment der Erde nach absolutem Maße bestimmt und für die Lehre vom Erdmagnetismus das geschaffen, was Newton in seinen »Prinzipien« für die Gravitationstheorie geleistet hatte. Ferner erschien auf Grund der vom magnetischen Verein gesammelten Beobachtungen im Jahre 1840 ein »Atlas des Erdmagnetismus.«
Die theoretische Grundlage für die sämtlichen, ein Jahrzehnt umfassenden und so viele Kräfte beanspruchenden erdmagnetischen Untersuchungen hat Gauß in seiner Abhandlung über die Intensität der erdmagnetischen Kraft geschaffen. Für die Messungen selbst schuf er in seinem Bifilarmagnetometer das geeignetste Werkzeug.