Die Abhandlung erschien im Jahre 1832. Sie besitzt nicht nur für das Gebiet des Magnetismus, sondern, da sie die Grundzüge des absoluten Maßsystems enthält, für die gesamte Physik eine solch außerordentliche Bedeutung, daß wir uns etwas eingehender mit ihrem Inhalt beschäftigen müssen[540].
Zur vollständigen Bestimmung der erdmagnetischen Kraft an einem gegebenen Orte sind drei Elemente erforderlich, die Deklination, die Inklination und die Stärke (Intensität). Die größte Aufmerksamkeit hatte man ihrer Bedeutung für die Schiffahrt wegen der Deklination geschenkt; geringere Beachtung hatte die Inklination gefunden. Auf die Stärke des Erdmagnetismus als drittes, zunächst übersehenes Element, wurde besonders von Alexander v. Humboldt hingewiesen. Dieser hatte auf seinen Reisen festgestellt, daß ein und dieselbe Magnetnadel an verschiedenen Orten schneller oder langsamer schwingt. Er hatte daraus geschlossen, daß die Intensität der die Schwingungen veranlassenden erdmagnetischen Kraft bald größer, bald geringer sei und im allgemeinen mit der Annäherung gegen die magnetischen Pole zunehme. Das von Humboldt vorgeschlagene Verfahren gestattete aber nur relative Messungen und war außerdem mit manchen Fehlerquellen behaftet. Infolgedessen konnte es auf wissenschaftliche Zuverlässigkeit keinen Anspruch machen. Die Anzahl der Schwingungen, die eine Nadel macht, hängt nämlich nicht nur von der erdmagnetischen Kraft, sondern ebensosehr von dem magnetischen Zustand der Nadel und endlich auch von dem jeder Nadel zukommenden Trägheitsmomente ab. Wählte man zu den Schwingungsversuchen auch dieselbe Nadel, um Verschiedenheiten des Trägheitsmomentes auszuschließen, so konnte doch bei längeren Reisen die magnetische Kraft der Nadel eine Schwächung erfahren. Dieser Umstand würde auch ohne eine Verminderung der Kraft des Erdmagnetismus eine Verlangsamung der Schwingungen herbeiführen und zu falschen Schlüssen Anlaß geben. Endlich ließ sich vermuten, daß nicht nur die Deklination und die Inklination, sondern daß auch die Intensität für ein und denselben Ort langsame Änderungen erfährt. Offenbar verlor, sobald es sich um diese Frage handelte, das Humboldtsche Verfahren jede Gültigkeit.
Gauß mußte daher, nachdem er diese Mängel der vergleichenden Methode erkannt hatte, an ihre Stelle eine neue setzen. Und zwar galt es, sich von den zufälligen Verschiedenheiten der Nadeln unabhängig zu machen und die Intensität des Erdmagnetismus auf feststehende Einheiten zurückzuführen. Gauß verfuhr dabei nach folgenden Gesichtspunkten. Die Anzahl der Schwingungen, die eine Nadel in einer gegebenen Zeit ausführt, hängt von drei Größen ab, nämlich von der Stärke des Erdmagnetismus, von dem Moment des in der Nadel enthaltenen freien Magnetismus und endlich von ihrem Trägheitsmomente. Besaß der schwingende Körper eine bestimmte Form und war er in seiner Masse überall von gleicher Beschaffenheit, so ließ sich das Trägheitsmoment nach bekannten Methoden berechnen. Gauß zog es jedoch vor, das Trägheitsmoment auf empirischem Wege zu bestimmen. Und zwar geschah dies, indem er die Nadel unter der Wirkung ein und derselben Kraft einmal im belasteten und dann im unbelasteten Zustande schwingen ließ. Die Verzögerung in der Schwingungsdauer, welche eine bekannte Last in einer bestimmten Entfernung von der Achse hervorrief, gab ihm ein Mittel an die Hand, das Trägheitsmoment der Nadel aufs genaueste zu bestimmen, auch wenn diese mit einer verwickelten Zurüstung, z. B. einem Spiegel zum Ablesen der Schwingungen, versehen war.
Größere Schwierigkeiten bot die Bestimmung des magnetischen Moments der Nadel. Sie ließen sich nur durch die Einführung des absoluten Maßsystems bewältigen. Gauß bediente sich hierbei der bekannten Vorstellung von den magnetischen Flüssigkeiten. Der hypothetische Charakter einer solchen Annahme hatte auf den Gang und die Ergebnisse seiner Untersuchung keinen Einfluß. Die magnetischen Flüssigkeiten lassen sich nur an ihren Wirkungen erkennen und messen. Diese Wirkungen sind bewegende Kräfte, die einer bestimmten Masse eine gewisse Beschleunigung erteilen. Als Grundeinheiten für Länge, Masse und Zeit wählte Gauß das Millimeter, das Milligramm und die Sekunde[541]. Gauß dehnte das für die Mechanik auf solche Grundeinheiten schon vor ihm aufgebaute System zum ersten Male auf magnetische Messungen aus. Er tat dies, indem er als Einheit der magnetischen Flüssigkeit diejenige Menge definierte, deren abstoßende Wirkung auf eine andere, ihr gleiche, in der Einheit der Entfernung befindliche Menge magnetischer Flüssigkeit gleich 1 ist, d. h. gleich der Wirkung der beschleunigenden Kraft 1 auf die Masse 1. Sind die Magnetismen verschiedenartig, so tritt unter im übrigen gleichen Verhältnissen an Stelle der Abstoßung eine gleich große Anziehung. Daß für diese Wirkungen der von Coulomb gefundene Ausdruck (mm')/r2 gilt, wurde von Gauß zunächst vorausgesetzt, später aber durch seine Beobachtungen selbst bestätigt.
Für die Beurteilung des magnetischen Zustandes der Nadel war das von Gauß in seinen »allgemeinen Lehrsätzen« bewiesene Theorem der Massentransportation[542] ausschlaggebend. Es lautet in seiner Anwendung auf das in Frage stehende Gebiet: Wie auch immer die Verteilung des freien Magnetismus innerhalb eines Körpers sich verhalten mag, stets kann man an deren Stelle eine andere Verteilung an der Oberfläche des Körpers setzen, die auf ein außerhalb gelegenes Element magnetischer Flüssigkeit vollständig dieselben Kräfte ausübt wie jene vorhandene Verteilung.
Es galt, nach der Festsetzung der magnetischen Einheit die Intensität des Erdmagnetismus durch diejenige bewegende Kraft auszudrücken, welche der Erdmagnetismus auf jene Einheit ausübt. Man konnte sich dabei auf die Bestimmung der Horizontalintensität beschränken. Dividierte man diese durch den Cosinus der Inklination, so erhielt man den gesuchten vollen Wert für die Kraft des Erdmagnetismus.
Zu seinem Ziele gelangte Gauß durch folgenden Kunstgriff: Er verglich[543] die Wirkung des Erdmagnetismus auf eine bewegliche Nadel mit derjenigen Wirkung, die eine zweite Nadel auf die erste im Zustande der Bewegung oder im Zustande des Gleichgewichts hervorruft.
Als Wert der Intensität der horizontalen magnetischen Kraft ergab sich z. B. für Göttingen und für den 18. September des Jahres 1832
T = 1,7821.