Die ersten Untersuchungen, durch welche die neuere synthetische Geometrie vorbereitet wurde, reichen bis ins 17. Jahrhundert zurück. Sie rühren von zwei Zeitgenossen und Landsleuten des Descartes, von Desargues und von Pascal, her. Desargues[192] zeigte in seiner Schrift »Über die Tatsachen, zu welchen der Schnitt eines Kegels durch eine Ebene Veranlassung gibt,« daß für die Kegelschnitte eine zu den allgemeinsten Sätzen führende Betrachtungsweise möglich ist. Denkt man sich das Auge in der Spitze des Kegels, so erscheint ein elliptischer Schnitt in dieser Perspektive in der Form eines Kreises. Desargues stellte sich die Aufgabe, aus den Eigenschaften dieses Kreises die Eigenschaften der Kegelschnitte durch eine Art perspektivischer Beweisführung abzuleiten und gelangte so zuerst zu Sätzen, die für alle Arten der Kegelschnitte gelten. Einer dieser für alle Kegelschnitte gültigen Sätze wird noch heute als der Satz von Desargues bezeichnet[193].
Unter seinen Zeitgenossen wurde Desargues wohl nur von Pascal verstanden. Desargues Satz vom Sehnenviereck fügte Pascal den Satz vom Pascalschen Sechseck hinzu. Dieser besagt von jedem einem Kegelschnitte einbeschriebenen Sechseck, daß die drei Punkte, in welchen sich je zwei gegenüberliegende Seiten schneiden, auf einer geraden Linie liegen. Auch dieser Satz wurde zunächst für den Kreis bewiesen. Aus dem perspektivischen Zusammenhange zwischen dem Kreis und den Kegelschnitten wurde dann erst seine Verallgemeinerung abgeleitet.
Der weitere Ausbau der perspektivischen, oder, wie sie auch wohl genannt wird, der projektiven Geometrie erfolgte im 19. Jahrhundert. Die erste systematische Zusammenfassung rührt wieder von einem Franzosen und zwar von Poncelet her, einem der genialsten Vertreter der angewandten Mathematik.
Jean Victor Poncelet wurde 1788 als Sohn armer Eltern in Metz geboren. Er starb 1867. Als Zögling der École polytechnique genoß er den Unterricht eines Ampère, Fourier, Légendre und anderer Zierden der Wissenschaft, mit denen Frankreich um die Wende zum 19. Jahrhundert so reich gesegnet war. Als Genieoffizier nahm Poncelet an dem Feldzuge gegen Rußland teil. Er fiel in die Hände der Russen, und es folgten zwei Jahre Kriegsgefangenschaft. Diese unfreiwillige Muße füllte Poncelet damit aus, daß er die Grundzüge seines Verfahrens zu einem der bedeutendsten mathematischen Werke, dem »Traité des propriétés projectives des figures« entwickelte[194]. Durch dieses Buch ist Poncelet der Schöpfer der neueren synthetischen oder projektivischen Geometrie geworden. Dem Grundgedanken der neuen Betrachtungsweise sind wir schon im 17. Jahrhundert begegnet[195]. Sie unterscheidet sich von dem Verfahren der darstellenden Geometrie[196], das Monge ausbildete, in folgendem. Während Monge die Gebilde vermittelst paralleler Linien auf zwei zu einander senkrechte Ebenen projiziert, betrachtet Poncelet ihr perspektivisches Bild. Ein solches entsteht, wenn man von dem betrachtenden, als Punkt gedachten Auge aus Strahlen nach den Punkten des zu untersuchenden Gebildes zieht und in den Weg dieser Strahlen eine Fläche, in der Regel eine Ebene, bringt. Die Punkte, in welchen die Strahlen jene Ebene schneiden, bilden das perspektivische Bild. Aus diesem ergeben sich die Eigenschaften der zu untersuchenden und verwandter Gebilde oft mit überraschender Einfachheit. Zudem ist das Verfahren Poncelets in solchem Grade rein geometrisch, d. h. es verzichtet so gänzlich auf alle besonderen Hilfsmittel, daß es in dieser Hinsicht alle anderen Methoden übertrifft. Während wir uns in der analytischen Geometrie der Koordinaten und des Kalküls und in der darstellenden Geometrie des Auf- und Grundrisses bedienen, operiert Poncelet lediglich mit den Objekten selbst.
Nach der Veröffentlichung seiner projektivischen Geometrie war Poncelet als Lehrer der technischen Wissenschaften in seiner Vaterstadt und später in Paris tätig. Dieser Umstand und die Angriffe, die seine mathematischen Arbeiten aus kleinlichen Beweggründen erfuhren, bewogen ihn, sich vorwiegend mit angewandter Mathematik zu beschäftigen. Auch auf diesem Gebiete reihen sich seine Leistungen den höchsten an. Was Poncelet in der Hydromechanik und in der Maschinentheorie geschaffen, wird noch heute zu den »Grundsäulen« dieser Wissenszweige gerechnet[197]. Erwähnt sei nur, daß Poncelet die Wasserräder verbesserte (Ponceletrad) und das Kilogrammmeter als Einheit für die mechanische Arbeit, deren Äquivalenz mit der lebendigen Kraft er besonders hervorhob, einführte.
Zehn Jahre nach dem Erscheinen der projektivischen Geometrie Poncelets fand diese Wissenschaft in Deutschland die hervorragendste Förderung durch Steiners »Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten voneinander«[198].
Jakob Steiner wurde 1796 als Sohn eines armen Bauern in der Nähe von Solothurn geboren[199]. Er empfing den ersten Unterricht in einer Dorfschule und besuchte darauf Pestalozzis Erziehungsanstalt. Hier, sowie in Heidelberg, wo Steiner drei Jahre seinen Lebensunterhalt durch Privatstunden erwarb, fand er für seine wissenschaftliche Richtung kaum irgend welche Anregung. Er war vielmehr auf seinem Gebiete, da es in Deutschland dafür zu jener Zeit kaum einen Vertreter gab, vorwiegend Autodidakt. Nachdem Steiner Heidelberg verlassen, wirkte er als Lehrer an einer Erziehungsanstalt in Berlin. Dort wurde er durch einen Zufall mit Alexander von Humboldt bekannt. Einer der schönsten Züge Humboldts bestand darin, daß er junge Talente sozusagen entdeckte und sie vermöge der hervorragenden Stellung, in die ihn Geburt und Verdienst gewiesen, neidlos förderte. Steiner wurde durch Vermittlung Humboldts an der Berliner Gewerbeschule angestellt, an der auch der Chemiker Wöhler wirkte. Später erhielt Steiner auf die Empfehlung Humboldts und Jacobis hin eine Professur an der Berliner Universität. Durch das Zusammenwirken von Steiner mit Crelle und dem in den zwanziger Jahren gleichfalls in Berlin lebenden nordischen Mathematiker Abel entstand 1826 Deutschlands bedeutendste mathematische Zeitschrift, das Crellesche Journal für reine und angewandte Mathematik.
Zu den ersten Beiträgen Steiners für diese Zeitschrift gehört seine unter dem Titel »Einige geometrische Betrachtungen« veröffentlichte Abhandlung vom Jahre 1826[200]. In dieser Abhandlung beschäftigt sich Steiner, angeregt durch das Malfattische Problem, besonders mit Kreisberührungsaufgaben. Auf den Inhalt kann hier nicht näher eingegangen werden. Erwähnung verdient jedoch Steiners von ihm selbst geschilderte Art, wissenschaftlich zu arbeiten. Steiner sagt nämlich, er pflege über eine Aufgabe oder einen Gegenstand sich nicht eher aus den Schriften anderer zu unterrichten, bis er eine Auflösung oder einen Weg durch eigenes Nachdenken gefunden habe. Erst dann vergleiche er seine Resultate mit den schon vorhandenen[201]. Es ist das zwar nicht ein Verfahren für jedermann. Es ist aber dasjenige, das am sichersten den Fortschritt der Wissenschaft verbürgt.
In einer zweiten Abhandlung löst Steiner die Aufgabe, einzig mit Hilfe eines Lineals ohne Anwendung des Zirkels alle geometrischen Konstruktionen auszuführen, wenn nur irgend ein fester Hilfskreis gegeben ist. Die ältere Geometrie benötigte nämlich für die Mehrzahl ihrer Aufgaben des Lineals und des Zirkels. Die betreffende Abhandlung[202] Steiners bringt die Lehre von den harmonischen Strahlen und Punkten, von den harmonischen Eigenschaften des Kreises, den Ähnlichkeitspunkten, Potenzen von Kreisen und schließlich die Lösung aller geometrischen Aufgaben mittelst des Lineals, wenn ein fester Kreis gegeben ist.
Wir gelangen endlich zu dem für die neuere Geometrie grundlegend gewordenen Hauptwerk Steiners, seiner »Systematischen Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten voneinander«[203]. Das Werk läßt sich als der erste Versuch bezeichnen, die Geometrie von einem Keime aus nach allen Richtungen organisch zu entwickeln[204], sodaß an Stelle des Heeres von auseinander gerissenen Eigentümlichkeiten eine umfassende und klare Übersicht gewonnen wurde.