Auf dem bisher üblichen Wege gelangte man wohl zu einer Sammlung scharfsinniger Kunststücke, aber nicht zu einem innerlich zusammenhängenden Ganzen. Durch die Aneignung der Grundbeziehungen, so lauten Steiners Ausführungen über das Ziel seines Unternehmens, mache man sich zum Herrn des ganzen Gegenstandes. »Es tritt Ordnung in dem Chaos ein, und man sieht, wie alle Teile naturgemäß ineinander greifen und zu wohlbegrenzten Gruppen sich vereinigen. Der Kern der Sache besteht darin, daß die Abhängigkeit der Gestalten voneinander und die Art und Weise aufgedeckt wird, wie ihre Eigenschaften von den einfacheren Figuren zu den zusammengesetzteren sich fortpflanzen. Eigenschaften der Figuren, wie die konjugierten Durchmesser der Kegelschnitte und das mystische Sechseck und Sechsseit[205], von deren Vorhandensein man sich sonst durch künstliche Beweise überzeugen mußte, und die, wenn sie gefunden waren, als etwas Wunderbares dastanden, zeigen sich nun als notwendige Folgen der unscheinbarsten Eigenschaften der aufgefundenen Grundelemente.«
Wenn wir es uns auch versagen müssen, Steiners »Systematische Entwicklung« im einzelnen zu erörtern, so wollen wir doch bei seiner Behandlung der Kegelschnitte, jenes Gebietes, das die Mathematiker seit der Zeit des Menächmos und des Apollonios bis auf den heutigen Tag beschäftigt, noch etwas verweilen. Erst bei der Erzeugung der Kegelschnitte durch projektivische Gebilde ergaben sich fundamentale Sätze, d. h. Sätze, die so umfassend sind, daß die übrigen Eigenschaften der Kegelschnitte klar aus ihnen folgen. Steiner folgerte z. B. aus seinen Fundamentalsätzen[206], daß durch fünf beliebige Tangenten oder durch irgend fünf Punkte in einer Ebene ein Kegelschnitt bestimmt ist. Fünf beliebige Gerade in einer Ebene können also stets von einem, aber auch nur von einem einzigen Kegelschnitt berührt werden. Oder auch: Fünf beliebige Punkte in einer Ebene liegen jedesmal in einem, aber auch nur in einem einzigen Kegelschnitte.
In ganz neuer Beleuchtung und der Eigenschaft des Wunderbaren entkleidet erschienen nun auch die Sätze vom Pascalschen und Brianchonschen Sechseck. Zahlreiche Mathematiker hatten Beweise für diese Sätze beigebracht und die Lehre von den Kegelschnitten in mehr oder minder umfassender Weise darauf zu begründen versucht. Pascals Satz lautet, daß bei jedem einem Kegelschnitt umschriebenen Sechseck die Linien, welche die gegenüber liegenden Ecken verbinden, in einem Punkte zusammentreffen. Der Satz von Brianchon besagt, daß bei jedem einem Kegelschnitte eingeschriebenen Sechseck die drei Schnittpunkte der gegenüber liegenden Seiten in einer geraden Linie liegen. Steiner zeigte, daß beide Sätze nicht die eigentliche Grundlage für die Untersuchung der Kegelschnitte bilden, sondern daß sie zugleich mit vielen anderen Eigenschaften aus einer umfassenderen Quelle, nämlich aus der Beziehung projektivischer Gebilde fließen.
Von der Behandlung der Kegelschnitte nach projektivischer Methode wendet sich Steiner zur Erzeugung projektivischer Raumgebilde[207]. Die Untersuchung dreht sich besonders um die Eigenschaften der Paraboloide und der Hyperboloide.
Konnten Steiners Verdienste um die neueste Entwicklung der Geometrie hier auch nur angedeutet werden, so geht aus dem Gesagten doch hervor, daß durch ihn die Lehre von den Kegelschnitten, die wir ihrer Beziehungen zur Naturwissenschaft und zur Technik wegen an manchen Stellen dieses Werkes in Betracht gezogen haben, im wesentlichen und auf allgemeinster Grundlage zum Abschluß kam. »Was seitdem noch in dieser Beziehung geleistet worden ist, beschränkt sich auf die weitere Durcharbeitung und die formale Vollendung«[208].
Trotz dieser großen Erfolge der projektivischen Geometrie wurde die analytische Behandlung geometrischer Probleme keineswegs gänzlich beiseite geschoben. Wie die synthetische, so gewann auch die analytische Geometrie in der Neuzeit einen erhöhten Standpunkt. Dies geschah besonders durch Plückers »System der analytischen Geometrie«[209]. Plückers Verfahren bedeutet eine Loslösung von den zwei oder drei Achsen, auf die bisher die Flächen- oder die Raumgebilde bezogen wurden. Anstatt der Koordinaten führte er lineare Funktionen ein, welche den Strahlenbüscheln Steiners entsprechen. Die neueren Methoden der synthetischen und der analytischen Geometrie laufen daher, weil man sich auf beiden Gebieten beweglicher Elemente an Stelle der bisher üblichen festliegenden Grundgebilde bedient, auf eine Annäherung hinaus, die zu einer immer größeren, wechselseitigen Durchdringung und Befruchtung geführt hat[210].
Die Erkenntnis, daß gewisse Axiome der gewöhnlichen (Euklidischen) Geometrie sich nicht beweisen lassen, führte im Verlaufe des 19. Jahrhunderts zu einer neuen, nichteuklidischen Geometrie. Eine der ersten, früher nie angezweifelten Grundlagen der elementaren Geometrie ist das Parallelenaxiom. Es besagt, daß man durch einen Punkt außerhalb einer Geraden in der durch den Punkt und die Gerade festgelegten Ebene nur eine einzige Gerade ziehen kann, welche die erste Gerade nicht schneidet.
Bezweifelt man das Parallelenaxiom, so wankt auch der Satz, daß die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich zwei Rechten ist. Kurz, die wichtigsten Grundlagen der Geometrie scheinen mit einer gewissen Unsicherheit behaftet zu sein, die eben daraus entspringt, daß man das Parallelenaxiom nicht beweisen kann. Gauß sprach daher, weil er die Unzulänglichkeit der zur Sicherstellung des Parallelenaxioms unternommenen Beweise erkannte, den Gedanken aus, daß es für die reine Mathematik von großem Wert sein müsse, eine Geometrie zu schaffen, die sich nicht auf jenes Axiom stützt. Was Gauß nur angedeutet, führte Lobatschefskij[211] aus. Er schuf in seiner Pangeometrie eine neue umfassendere Lehre, welche die gewöhnliche Geometrie als einen besonderen Fall, der unserer Auffassung vom Raume am vollkommensten entspricht, in sich einschließt[212]. Näher auf dieses Gebiet einzugehen, liegt nicht im Rahmen dieses Werkes, das die Mathematik nur insofern berücksichtigen kann, als sie die Entwicklung der Naturwissenschaften beeinflußt hat.
Das Ergebnis seiner Untersuchungen veröffentlichte Lobatschefskij 1856. Sein Urteil über die Bedeutung der nichteuklidischen Geometrie geht dahin, daß sie, auch wenn sie in der Natur keine Geltung hat, doch in unserer Vorstellung bestehen und ein neues weites Feld für mathematische Untersuchungen erschließen kann.
Nachdem wir einen Blick auf die Entwicklung geworfen, welche die Geometrie in ihrer jüngsten Phase genommen hat, wollen wir in aller Kürze auch einige wichtige Fortschritte des Kalküls erörtern. Seit dem frühen Altertum beschäftigten sich die Mathematiker mit der Lehre von den Gleichungen. Das Eindringen in ihre Probleme war besonders mühselig und setzte alle Kräfte in Bewegung. Wie lange dauerte es, bis man das Wesen der negativen Wurzeln und vor allem den Zusammenhang der Wurzeln mit den Koeffizienten erkannt hatte. Erst die Mathematiker des 18. Jahrhunderts (Euler, Lagrange 1772, Gauß 1799) bewiesen, daß jede Gleichung sich in soviel reelle oder imaginäre Faktoren auflösen läßt, als ihr Grad anzeigt. Trotzdem vermochten selbst Euler und Lagrange es nicht, Gleichungen aufzulösen, welche den vierten Grad überschreiten. Schon Gauß äußerte daher die Ansicht, daß die allgemeine Gleichung fünften Grades wahrscheinlich nicht lösbar sei. Den Beweis für diese Tatsache brachte der große norwegische Mathematiker Abel, mit dessen Bedeutung für die neueste Entwicklung des Kalküls wir uns zunächst zu beschäftigen haben.