Karl Gustav Jacobi wurde 1804 in Potsdam geboren. Er widmete sich zunächst unter Böckh der klassischen Philologie, entschied sich aber, angeregt durch die Werke von Euler, Lagrange, Laplace und Gauß bald darauf für das Studium der Mathematik. Mit 21 Jahren wurde er Dozent für dieses Fach an der Berliner Universität. Dann wirkte er in Königsberg, um schließlich nach Berlin zurückzukehren, wo er schon 1851 starb.
Jacobis erste Untersuchungen betrafen die elliptischen Funktionen. Im Jahre 1829 erschien sein großes Hauptwerk über diesen Gegenstand[223]. Das Werk hat ihm die Hälfte des großen Preises eingetragen, den die Pariser Akademie für den bedeutendsten Fortschritt auf diesem Gebiete ausgesetzt hatte[224].
Die ersten Anfänge der Theorie der elliptischen Funktionen begegnen uns bei Euler. Dieser suchte einen rechnerischen Ausdruck für den Bogen einer Ellipse zu gewinnen und wurde dabei durch folgende Überlegung geleitet. Da der Kreis ein besonderer Fall der Ellipse ist, so läßt sich der Bogen der letzteren vielleicht durch allgemeinere Funktionen ausdrücken, welche die Kreisfunktionen als besonderen Fall in sich einschließen. Das Problem wurde von Legendre wieder aufgenommen und weiter geführt. Er war es, der zuerst den Ausdruck »elliptische Funktionen« gebrauchte. Allerdings bezeichnete er, abweichend vom heutigen Gebrauch, mit diesem Ausdruck die Integrale, welche die Bogen der Ellipse und der Hyperbel ausdrücken. Legendre widmete diesem Gegenstande die Arbeit von Jahrzehnten und veröffentlichte das Ergebnis, als ihm eine weitere Fortbildung nicht möglich schien, in seiner zusammenfassenden Arbeit vom Jahre 1827[225]. Kaum war dies geschehen, da mußte Legendre gestehen, daß seine eigenen Forschungen durch Abel und Jacobi weit überholt worden seien. »Nachdem ich mich«, so schrieb Legendre, »eine lange Reihe von Jahren mit der Theorie der elliptischen Funktionen befaßt, für welche der unsterbliche Euler das Fundament geschaffen, glaubte ich die Ergebnisse in einem umfangreichen Werke herausgeben zu müssen. Kaum ist aber der Titel dieses Werkes bekannt geworden, und schon zeigt es sich, daß zwei junge Mathematiker, Jacobi und Abel, die Theorie der elliptischen Funktionen durch neue Untersuchungen beträchtlich vervollkommnet haben.«
Unabhängig voneinander waren Abel und Jacobi auf den Gedanken gekommen, in diese Theorie das Imaginäre einzuführen. Dadurch wurden alle Rätsel der älteren Theorie gelöst und die elliptischen Funktionen gleichzeitig zu den Kreisfunktionen und den Exponentialgrößen in nahe Beziehung gesetzt.
Jacobi drang aber noch tiefer in das Wesen der elliptischen Funktionen ein und erkannte, daß sie als Folgerungen gewisser Funktionen aufgefaßt werden können, die man seitdem als Theta-Funktionen bezeichnet hat. Während ferner die elliptischen Funktionen als die Umkehrungen der elliptischen Integrale nur zwei Perioden zulassen, schuf Jacobi später die Theorie der mehrfach periodischen Funktionen, welche als die Umkehrungsfunktionen der algebraischen Integrale auftreten. Die Abhandlung, in welcher die Natur dieser neuen Funktionen im hellsten Lichte erscheint, wurde neuerdings in deutscher Sprache zugänglich gemacht[226]. Um die Darstellung der vierfach periodischen Funktionen haben sich unter den deutschen Mathematikern später noch Göpel und Rosenhain besondere Verdienste erworben. Auch ihre Abhandlungen erschienen als Teile der Ostwaldschen Sammlung in deutscher Übersetzung[227].
Von den neu entdeckten Funktionen haben besonders die elliptischen und die durch Legendre eingeführten Kugelfunktionen der mathematischen Physik und der theoretischen Astronomie wertvolle Dienste geleistet. Um den weiteren Ausbau der höheren Analysis und ihre Anwendung auf das abstrakte Gebiet der Zahlentheorie, nicht minder aber auf die wichtigsten Probleme der mathematischen Physik hat sich der deutsche Mathematiker Lejeune-Dirichlet die größten Verdienste erworben.
Gustav Peter Lejeune-Dirichlet wurde 1805 in Düren geboren[228]. Anknüpfend an die Disquisitiones arithmeticae von Gauß verstand er es, die Zahlentheorie mit der Infinitesimalrechnung in Beziehung zu setzen und beide bis dahin getrennten Zweige der Mathematik vermöge der Durchführung dieses Gedankens zu bereichern. Einige Anwendungen dieser Methode veröffentlichte er in den Jahren 1839 und 1840. Die betreffende Abhandlung[229] bringt eine Frage, mit welcher sich schon Lagrange, Legendre und Gauß befaßten, zur Lösung, die Frage nämlich nach dem Zusammenhang zwischen der Anzahl der quadratischen Formen und einer gegebenen Determinante.
In einer anderen, der Ostwaldschen Sammlung einverleibten Abhandlung unternimmt Dirichlet die Darstellung ganz willkürlicher Funktionen durch Sinus- und Cosinusreihen[230]. Zu dieser für die Entwicklung der mathematischen Physik sehr wertvollen Untersuchung war Dirichlet dadurch gelangt, daß Fourier, mit dem der deutsche Forscher während eines längeren Studiums in Paris in enge Fühlung trat, durch seine analytischen Beiträge zur Wärmelehre auf trigonometrische Reihen geführt worden war.
Nach dem Erfolge, den Dirichlet durch seine Untersuchung der Fourierschen Reihen errungen, stellte er mit Vorliebe sein mathematisches Können in den Dienst der theoretischen Physik. Er erfand eine besondere Integrationsmethode zur leichteren Bewältigung der bestimmten Integrale und wandte diese neue Methode auf Attraktionsprobleme an.
Die betreffende Abhandlung erschien 1839 und wurde neuerdings durch Ostwalds Klassiker zugänglicher gemacht[231]. Nachdem Riemann gezeigt hatte, wie durch die von ihm vorgeschlagene Transformation die schwierigsten Integrationen vereinfacht werden, wählte Dirichlet das so oft von früheren Mathematikern (Laplace, Gauß u. a.) behandelte Beispiel der Attraktion der Ellipsoide. Während bis dahin das Problem des äußeren und des inneren Punktes unabhängig voneinander und mit verschiedenen Mitteln behandelt worden waren, zeigte Dirichlet, daß das Problem eine gleichförmige Behandlung zuläßt. Außerdem ist sein Verfahren nicht auf die Voraussetzung beschränkt, daß die Attraktion dem Quadrat der Entfernung umgekehrt proportional ist, sondern es bleibt auch für jede andere ganze oder gebrochene Potenz der Entfernung anwendbar. Endlich braucht auch die Dichtigkeit der anziehenden Masse nicht als konstant vorausgesetzt zu werden, sondern sie kann auch durch irgend eine rationale ganze Funktion der drei Koordinaten ausgedrückt sein. Indem Dirichlet ferner die Wirkung der nach dem Gesetze Newtons wirkenden Kräfte von neuem der höheren Analysis unterwarf, förderte er gleichzeitig die Potentialtheorie[232].