Wissenschaft der Logik — Band 1

by Georg Wilhelm Friedrich Hegel

Der qualitative Charakter überhaupt, der hier an der in Rede stehenden Größenform in demjenigen, was dabei das Unendlichkleine genannt wird, nachgewiesen worden ist, findet sich am unmittelbarsten in der Kategorie der Grenze des Verhältnisses, die oben angeführt worden, und deren Durchführung im Kalkul zu einer eigenthümlichen Methode gestempelt worden ist. Was Lagrange von dieser Methode urtheilt, daß sie der Leichtigkeit in der Anwendung entbehre, und der Ausdruck Grenze keine bestimmte Idee darbiete, davon wollen wir das Zweite hier aufnehmen, und näher sehen, was über ihre analytische Bedeutung aufgestellt wird. In der Vorstellung der Grenze liegt nämlich wohl die angegebene wahrhafte Kategorie der qualitativen Verhältnißbestimmung der veränderlichen Größen, denn die Formen, die von ihnen eintreten, dx und dy, sollen schlechthin nur als Momente von dy/dx genommen, und dx/dy selbst als ein einziges untheilbares Zeichen angesehen werden. Daß hiermit für den Mechanismus des Kalkuls besonders in seiner Anwendung der Vortheil verloren geht, den er davon zieht, daß die Seiten des Differential-Koefficienten von einander abgesondert werden, ist hier bei Seite zu setzen. Jene Grenze soll nun Grenze von einer gegebenen Funktion seyn;—sie soll einen gewissen Werth in Beziehung auf dieselbe angeben, der sich durch die Weise der Ableitung bestimmt. Mit der bloßen Kategorie der Grenze aber wären wir nicht weiter, als mit dem, um das es in dieser Anm. zu thun gewesen ist, nämlich aufzuzeigen, daß das Unendlichkleine, das in der Differentialrechnung als dx und dy vorkommt, nicht bloß den negativen, leeren Sinn einer nicht endlichen, nicht gegebenen Größe habe, wie wenn man sagt, eine unendliche Menge, ins unendliche fort und dergleichen, sondern den bestimmten Sinn der qualitativen Bestimmtheit des Quantitativen, eines Verhältnißmoments als eines solchen. Diese Kategorie hat jedoch so noch kein Verhältniß zu dem, was eine gegebene Funktion ist, und greift für sich nicht in die Behandlung einer solchen und in einen Gebrauch, der an ihr von jener Bestimmung zu machen wäre, ein; so würde auch die Vorstellung der Grenze, zurückgehalten in dieser von ihr nachgewiesenen Bestimmtheit, zu nichts führen. Aber der Ausdruck Grenze enthält es schon selbst, daß sie Grenze von Etwas sey, d. h. einen gewissen Werth ausdrücke, der in der Funktion veränderlicher Größe liegt; und es ist zu sehen, wie dieß konkrete Benehmen mit ihr beschaffen ist.—Sie soll die Grenze des Verhältnisses seyn, welches die zwei Inkremente zu einander haben, um welche die zwei veränderlichen Größen, die in einer Gleichung verbunden sind, deren die eine als eine Funktion der andern angesehen wird, als zunehmend angenommen worden;—der Zuwachs wird hier unbestimmt überhaupt genommen und insofern von dem Unendlichkleinen kein Gebrauch gemacht. Aber zunächst führt der Weg, diese Grenze zu finden, dieselben Inkonsequenzen herbei, die in den übrigen Methoden liegen. Dieser Weg ist nämlich folgender. Wenn y = fx, soll fx, wenn y in y + k übergeht, sich in fx + ph + qh[hoch 2] + rh[hoch 3] u.s.f. verändert, hiermit ist k = ph + qh[hoch 2] u.s.f. und k/h = p + qh + rh[hoch 2] u.s.f. Wenn nun k und h verschwinden, so verschwindet das zweite Glied außer p, welches p nun die Grenze des Verhältnisses der beiden Zuwächse sey. Man sieht, daß h als Quantum = 0 gesetzt wird, aber daß darum k/h nicht zugleich = 0 seyn, sondern noch ein Verhältniß bleiben soll. Den Vortheil, die Inkonsequenz, die hierin liegt, abzulehnen, soll nun die Vorstellung der Grenze gewähren; p soll zugleich nicht das wirkliche Verhältniß, das = 0/0 wäre, sondern nur der bestimmte Werth seyn, dem sich das Verhältniß unendlich d.i. so nähern könne, daß der Unterschied kleiner als jeder gegebene werden könne. Der bestimmtere Sinn der Näherung in Rücksicht dessen, was sich eigentlich einander nähern soll, wird unten betrachtet werden. —Daß aber ein quantitativer Unterschied, der die Bestimmung hat, kleiner als jeder gegebene seyn zu können nicht nur, sondern seyn zu sollen, kein quantitativer Unterschied mehr ist, dieß ist für sich klar, so evident als irgend etwas in der Mathematik evident seyn kann; damit aber ist über dy/dx = 0/0 nicht hinausgekommen worden. Wenn dagegen dy/dx = p d.i. als ein bestimmtes quantitatives Verhältniß, angenommen wird, wie dieß in der That der Fall ist, so kommt umgekehrt die Voraussetzung, welche h = 0 gesetzt hat, in Verlegenheit, eine Voraussetzung, durch welche allein k/h = p gefunden wird. Giebt man aber zu, daß k/h = 0 ist, und mit h = 0 wird in der That von selbst auch k = 0; denn der Zuwachs k zu y findet nur unter der Bedingung statt, daß der Zuwachs h ist; so wäre zu sagen, was denn p seyn solle, welches ein ganz bestimmter quantitativer Werth ist. Hierauf giebt sich sogleich die einfache, trockne Antwort von selbst, daß es ein Koefficient ist und aus welcher Ableitung er entsteht,—die auf gewisse bestimmte Weise abgeleitete erste Funktion einer ursprünglichen Funktion. Begnügte man sich damit, wie denn in der That Lagrange sich der Sache nach damit begnügt hat, so wäre der allgemeine Theil der Wissenschaft des Differential-Kalkuls und unmittelbar diese seine Form selbst, welche die Theorie der Grenzen heißt, von den Zuwächsen, dann deren unendlicher oder beliebiger Kleinheit, von der Schwierigkeit, außer dem ersten Gliede oder vielmehr nur dem Coefficienten des ersten Gliedes die weitern Glieder einer Reihe, als welche durch die Einführung jener Zuwächse unabwendbar sich einfinden, wieder wegzubringen, befreit; außerdem aber auch von dem weitern, was damit zusammenhängt, von den formellen Kategorien vor allem des Unendlichen, der unendlichen Annäherung, und der weitern hier ebenso leeren Kategorien von kontinuirlicher Größe,[^[11]] und welche man sonst, wie Bestreben, Werden, Gelegenheit einer Veränderung für nöthig erachtet, gereinigt. Aber dann würde gefordert zu zeigen, was denn p, außer der, für die Theorie ganz genügenden trocknen Bestimmung, daß es weiter nichts als eine aus der Entwickelung eines Binomiums abgeleitete Funktion ist, noch für eine Bedeutung und Werth, d. i. welchen Zusammenhang und Gebrauch für weiteres mathematisches Bedürfniß habe; hiervon soll die zweite Anmerkung handeln.—Es folgt aber zunächst hier noch die Auseinandersetzung der Verwirrung, welche durch den angeführten, in den Darstellungen so geläufigen Gebrauch der Vorstellung von Annäherung in das Auffassen der eigentlichen, qualitativen Bestimmtheit des Verhältnisses, um das es zunächst zu thun war, gebracht worden ist.

[11] Die Kategorie von der kontinuirlichen oder fließenden Größe stellt sich mit der Betrachtung der äußerlichen und empirischen Veränderung der Größen, die durch eine Gleichung in die Beziehung, daß die Eine eine Funktion der Andern ist, gebracht sind, ein; da aber der wissenschaftliche Gegenstand der Differentialrechnung ein gewisses (durch den Differential-Koefficienten gewöhnlich ausgedrücktes) Verhältniß, welche Bestimmtheit ebensowohl Gesetz genannt werden kann, ist, so ist für diese specifische Bestimmtheit die bloße Kontinuität Theils schon eine fremdartige Seite, Theils aber auf allen Fall die abstrakte und hier leere Kategorie, da über das Gesetz der Kontinuität gar nichts damit ausgedrückt ist.—Auf welche formelle Definitionen dabei vollends verfallen wird, ist aus meines verehrten Hrn. Collegen, Prof. Dirksen, scharfsinniger allgemeinen Darstellung der Grundbestimmungen, die für die Deduktion des Differential-Kalkuls gebraucht werden, welche sich an die Kritik einiger neueren Werke über diese Wissenschaft anschließt und sich in den Jahrb. f. wissensch. Kritik, 1827 Nr. 153 ff., befindet, zu ersehen, es wird daselbst S. 1251 sogar die Definition angeführt: "Eine stätige oder kontinuirliche Größe, Kontinuum, ist jede Größe, welche man sich im Zustande des Werdens gedenkt, so daß dieses Werden nicht sprungweise, sondern durch ununterbrochenen Fortgang geschieht." Das ist doch wohl tautologisch dasselbe, was das definitum ist.

Es ist gezeigt worden, daß die sogenannten unendlichen Differenzen das Verschwinden der Seiten des Verhältnisses als Quantorum ausdrücken, und daß das, was übrig bleibt, ihr Quantitätsverhältniß ist, rein insofern es auf qualitative Weise bestimmt ist; das qualitative Verhältniß geht hierin so wenig verloren, daß es vielmehr dasjenige ist, was eben durch die Verwandlung endlicher Größen in unendliche resultirt. Hierin besteht, wie wir gesehen, die ganze Natur der Sache.—So verschwinden im letzten Verhältnisse z.B. die Quanta der Abscisse und Ordinate; aber die Seiten dieses Verhältnisses bleiben wesentlich die eine, Element der Ordinate, die andere Element der Abscisse. Indem die Vorstellungsweise gebraucht wird, daß man die eine Ordinate sich der anderen unendlich nähern läßt, so geht die vorher unterschiedene Ordinate in die andere Ordinate, und die vorher unterschiedene Abscisse in die andere Abscisse über; aber wesentlich geht nicht die Ordinate in die Abscisse, oder die Abscisse in die Ordinate über. Das Element der Ordinate,—um bei diesem Beispiele von veränderlichen Größen stehen zu bleiben, ist nicht als der Unterschied einer Ordinate von einer anderen Ordinate zu nehmen, sondern ist vielmehr als der Unterschied oder die qualitative Größenbestimmung gegen das Element der Abscisse; das Princip der einen veränderlichen Größe gegen das der andern steht im Verhältnisse miteinander. Der Unterschied, indem er nicht mehr Unterschied endlicher Größen ist, hat aufgehört, ein Vielfaches innerhalb seiner selbst zu seyn; er ist in die einfache Intensität zusammengesunken, in die Bestimmtheit eines qualitativen Verhältnißmoments gegen das andere.

Diese Beschaffenheit der Sache wird aber dadurch verdunkelt, daß das, was so eben Element z.B. der Ordinate genannt worden, so als Differenz oder Inkrement gefaßt wird, daß es nur der Unterschied des Quantums einer Ordinate zwischen dem Quantum einer andern Ordinate sey. Die Grenze hat hiermit hier nicht den Sinn des Verhältnisses; sie gilt nur als der letzte Werth, dem sich eine andere Größe von gleicher Art beständig so nähere, daß sie von ihm, so wenig als man will, unterschieden seyn könne, und daß das letzte Verhältniß, ein Verhältniß der Gleichheit sey. So ist die unendliche Differenz das Schweben eines Unterschieds eines Quantums von einem Quantum, und die qualitative Natur, nach welcher dx wesentlich nicht eine Verhältnißbestimmung gegen x, sondern gegen dy ist, tritt in der Vorstellung zurück. Man läßt dx[hoch 2] gegen dx verschwinden, aber noch vielmehr verschwindet dx gegen x, dieß heißt aber wahrhaftig: es hat nur ein Verhältniß zu dy.—Es ist den Geometern in solchen Darstellungen immer vorzüglich darum zu thun, die Annäherung einer Größe an ihre Grenze begreiflich zu machen, und sich an diese Seite des Unterschiedes des Quantums vom Quantum, wie er kein Unterschied und doch noch ein Unterschied ist, zu halten. Aber die Annäherung ist ohnehin für sich eine nichts sagende und nichts begreiflich machende Kategorie; dx hat die Annäherung bereits im Rücken, es ist nicht nahe noch ein Näheres; und unendlich nahe heißt selbst die Negation des Naheseyns und des Annäherns.

Indem es nun damit geschehen ist, daß die Inkremente oder unendlichen Differenzen nur nach der Seite des Quantums, das in ihnen verschwindet, und nur als Grenze desselben betrachtet worden sind, so sind sie so als verhältnißlose Momente gefaßt. Es würde die unstatthafte Vorstellung daraus folgen, daß es erlaubt sey, in dem letzten Verhältnisse etwa Abscisse und Ordinate, oder auch Sinus, Cosinus, Tangente, Sinus versus und was alles noch, einander gleich zu setzen.—Diese Vorstellung scheint zunächst darin obzuwalten, wenn ein Bogen als eine Tangente behandelt wird; denn auch der Bogen ist wohl inkommensurabel mft der geraden Linie, und sein Element zunächst von anderer Qualität als das Element der geraden Linie. Es scheint noch widersinniger und unerlaubter, als die Verwechslung der Abscisse, Ordinate, des Sinus versus, Cosinus u.s.f. wenn quadrata rotundis, wenn ein ob zwar unendlich kleiner Theil des Bogens, für ein Stück der Tangente, genommen, und somit als gerade Linie behandelt wird. —Allein diese Behandlung ist von der gerügten Verwechslung wesentlich zu unterscheiden; sie hat ihre Rechtfertigung darin, daß in dem Dreieck, weilches das Element eines Bogens und die Elemente seiner Abscisse und der Ordinate zu seinen Seiten hat, das Verhältniß dasselbe ist, als wenn jenes Element des Bogens das Element einer geraden Linie, der Tangente wäre; die Winkel, welche das wesentliche Verhältniß konstituiren, d. i. dasjenige, das diesen Elementen bleibt, indem von den ihnen zugehörigen endlichen Größen abstrahirt wird, sind die nämlichen.—Man kann sich hierüber auch ausdrücken, gerade Linien, als unendlichklein, seyen in krumme Linien übergegangen, und das Verhältniß ihrer in ihrer Unendlichkeit sey ein Kurvenverhältniß. Da nach ihrer Definition die gerade Linie der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist, so gründet sich ihr Unterschied von krummer Linie auf die Bestimmung von Menge, auf die geringere Menge des Unterscheidbaren auf diesem Wege, was also eine Bestimmung von Quantum Ist. Aber diese Bestimmung verschwindet in ihr, sie als intensive Größe, als unendliches Moment, als Element genommen; somit auch ihr Unterschied von der krummen Linie, der bloß auf dem Quantumsunterschiede beruhte.—Also als unendlich behält gerade Linie und Bogen kein quantitatives Verhältniß und damit, auf den Grund der angenommenen Definition, auch keine qualitative Verschiedenheit mehr gegeneinander, sondern geht jene vielmehr in diese über.

Verwandt, jedoch zugleich verschieden, von der Gleichsetzung heterogener Bestimmungen ist die für sich unbestimmte und völlig gleichgültige Annahme, daß unendlich kleine Theile desselben Ganzen einander gleich seyen; jedoch angewandt auf einen in sich heterogenen d. i. mit wesentlicher Ungleichförmigkeit der Größebestimmung behafteten Gegenstand, bringt sie die eigenthüniliche Verkehrung hervor, die in dem Satze der höhern Mechanik enthalten ist, daß in gleichen und zwar unendlichkleinen Zeiten unendlichkleine Theile einer Kurve in gleichförmiger Bewegung durchloffen werden, indem dieß von einer Bewegung behauptet wird, in der in gleichen endlichen d. i. existirenden Zeittheilen endliche, d. i. existirende ungleiche Theile der Kurve durchloffen werden, d. i. also von einer Bewegung, die als existirend ungleichförmig ist und so angenommen wird. Dieser Satz ist der Ausdruck desjenigen in Worten, was ein analytisches Glied, das sich in der oben auch angeführten Entwickelung der Formel von ungleichförmiger übrigens einem Gesetze gemäßen Bewegung ergiebt, bedeuten soll. Ältere Mathematiker suchten Ergebnisse der neu erfundenen Infinitesimal-Rechnung, die ohnehin immer mit konkreten Gegenständen zu thun hatte, in Worte und Sätze auszudrücken und sie in geometrischen Verzeichnungen darzustellen, wesentlich um sie für die Lehrsätze nach gewöhnlicher Beweise-Art zu gebrauchen. Die Glieder einer mathematischen Formel, in welche die analytische Behandlung die Größe des Gegenstands z.B. der Bewegung zerlegte, erhielten dort eine gegenständliche Bedeutung, z.B. der Geschwindigkeit, beschleunigende Kraft u.s.f. sie sollten nach solcher Bedeutung richtige Sätze, physikalische Gesetze geben und nach der analytischen Verbindung auch ihre objektiven Verknüpfungen und Verhältnisse bestimmt seyn, wie z.B. eben daß in einer gleichförmig beschleunigten Bewegung eine besondere den Zeiten proportionale Geschwindigkeit existire, außerdem aber ein Zuwachs von der Kraft der Schwere her, immer hinzukomme. Solche Sätze werden in der modernen, analytischen Gestalt der Mechanik durchaus als Ergebnisse des Kalkuls aufgeführt unbekümmert darum, ob sie einen reellen Sinn d. i. dem eine Existenz entspräche, für sich an ihnen selbst hätten, und um einen Beweis eines solchen; die Schwierigkeit, den Zusammenhang solcher Bestimmungen, wenn sie im ausgesprochenen reellen Sinn genommen werden, z.B. den Übergang von jener schlechtgleichförmigen Geschwindigkeit zu einer gleichförmigen beschleunigten, begreifflich zu machen, gilt dafür, durch die analytische Behandlung ganz beseitigt zu seyn, als in welcher solcher Zusammenhang einfache Folge der nunmehrigen festen Autorität der Operationen des Kalkuls ist. Es wird für einen Triumph der Wissenschaft ausgegeben, durch den bloßen Kalkul über die Erfahrung hinaus Gesetze, d. i. Sätze der Existenz, die keine Existenz haben, zu finden. Aber in der erstern noch naiven Zeit des Infinitesimal-Kalkuls sollte von jenen Bestimmungen und Sätzen, in geometrischen Verzeichnungen vorgestellt, ein reeller Sinn für sich angegeben und plausibel gemacht, und sie in solchem Sinne zum Beweise von den Hauptsätzen, um die es zu thun war, angewendet werden, (—man sehe den newtonischen Beweis von seinem Fundamentalsatze der Theorie der Gravitation in den Princ. mathem. philosophiae naturalis lib. I. Sect. II. Prop. I. verglichen mit Schuberts Astronomie (erster Ausg. III. B. §. 20), wo zugestanden wird, daß es sich nicht genau so, d. i. in dem Punkte, welcher der Nerv des Beweises ist, sich nicht so verhalte, wie Newton annimmt—).

Es wird nicht geläugnet werden können, daß man sich in diesem Felde vieles als Beweis, vornehmlich unter der Beihülfe des Nebels des Unendlich-Kleinen hat gefallen lassen, aus keinem andern Grunde als dem, daß das, was herauskam, immer schon vorher bekannt war, und der Beweis, der so eingerichtet wurde, daß es herauskam, wenigstens den Schein eines Gerüstes von Beweis zu Stande brachte;—einen Schein, den man dem bloßen Glauben oder dem Wissen aus Erfahrung immer noch vorzog. Ich aber trage kein Bedenken, diese Manier für nicht mehr als eine bloße Taschenspielerei und Charlatanerie des Beweisens anzusehen, und hierunter selbst newtonische Beweise zu rechnen, ins Besondere die zu dem so eben angeführten gehörigen, wegen welcher man Newton bis an den Himmel und über Keppler erhoben hat, das was dieser bloß durch Erfahrung gefunden, mathematisch dargethan zu haben.

Das leere Gerüste solcher Beweise wurde errichtet, um physische Gesetze zu beweisen. Aber die Mathematik vermag überhaupt nicht Größenbestimmungen der Physik zu beweisen, insofern sie Gesetze sind, welche die qualitative Natur der Momente zum Grunde haben; aus dem einfachen Grunde, weil diese Wissenschaft nicht Philosophie ist, nicht vom Begriffe ausgeht, und das Qualitative daher, insofern es nicht lemmatischerweise aus der Erfahrung aufgenommen wird, außer ihrer Sphäre liegt. Die Behauptung der Ehre der Mathematik, daß alle in ihr vorkommenden Sätze streng bewiesen seyn sollen, ließ sie ihre Grenze oft vergessen; so schien es gegen ihre Ehre, für Erfahrungssätze einfach die Erfahrung als Quelle und als einzigen Beweis anzuerkennen; später ist das Bewußtseyn hierüber gebildeter geworden; eh dieses aber über den Unterschied sich nicht klar wird, was mathematisch beweisbar ist und was nur anderwärts genommen werden kann, wie darüber was nur Glieder analytischer Entwickelung und was physikalische Existenzen sind, kann die Wissenschaftlichkeit sich nicht zu strenger und reiner Haltung herausbilden.—Jenem Gerüste newtonischen Beweisens aber wird ohne Zweifel noch dasselbe Recht widerfahren, das einem anderen grundlosen newtonischen Kunstgebäude aus optischen Experimenten und damit verbundenem Schließen angethan worden ist. Die angewandte Mathematik ist noch voll von einem gleichen Gebräue aus Erfahrung und Reflexion, aber wie vonjener Optik seit geraumer Zeit bereits ein Theil nach dem andern anfing in der Wissenschaft faktisch ignorirt zu werden mit der Inkonsequenz jedoch, das Übrige obgleich damit Widersprechende noch gewähren zu lassen, —so ist es auch Faktum, daß bereits ein Theil jener trügerischen Beweise, von selbst in Vergessenheit gerathen oder durch andere ersetzt worden ist.

Anmerkung 2.Der Zweck des Differentialkalkuls aus seiner Anwendung abgeleitet.

In der vorigen Anmerkung ist Theils die Begriffsbestimmtheit des Unendlich-Kleinen, das in dem Differential-Kalkul gebraucht wird, Theils die Grundlage seiner Einführung in denselben betrachtet worden; Beides sind abstrakte und darum an sich auch leichte Bestimmungen; die sogenannte Anwendung aber bietet größere Schwierigkeiten sowohl als auch die interessantere Seite dar; die Elemente dieser konkreten Seite sollen der Gegenstand dieser Anmerkung seyn.—Die ganze Methode der Differentialrechnung ist in dem Satze, daß dx[hoch n] = nx[hoch n 1]dx, oder f(x+i)-fx/i = P, d.i. gleich dem Koefficienten des ersten Gliedes des nach den Potenzen von dx oder i entwickelten Binomiums x + d, x + i, absolvirt. Man bedarf weiter nichts zu erlernen; die Ableitung der nächsten Formen, des Differentials eines Produkts, einer Exponentialgröße und sofort ergiebt sich daraus mechanisch; in wenig Zeit, vielleicht in einer halben Stunde—mit dem Finden der Differentiale ist das umgekehrte, das Finden der ursprünglichen Funktion aus jenen, die Integration gleichfalls gegeben,—kann man die ganze Theorie inne haben. Was allein länger aufhält, ist die Bemühung es einzusehn, begreifflich zu machen, daß nachdem der eine Umstand der Aufgabe, das Finden jenes Koefficienten, auf analytische d. i. ganz arithmetische Weise, durch die Entwickelung der Funktion der veränderlichen Größe, nachdem diese durch einen Zuwachs die Form eines Binomiums erhalten, so leicht bewerkstelligt worden, es auch mit dem andern Umstand, nämlich mit dem Weglassen der übrigen Glieder der entstehenden Reihe außer den ersten, seine Richtigkeit habe. Wäre es der Fall, daß man jenen Koefficienten allein nöthig hätte, so wäre mit der Bestimmung desselben Alles, was die Theorie betrifft, —wie gesagt in weniger als einer halben Stunde abgethan, und das Weglassen der weitern Glieder der Reihe machte so wenig eine Schwierigkeit, daß vielmehr von ihnen, als Gliedern der Reihe (als zweiten, dritten u.s.f. Funktionen ist ihre Bestimmung schon mit der Bestimmung des ersten gleichfalls absolvirt), gar nicht die Rede wäre, da es um sie ganz und gar nicht zu thun ist.