Wissenschaft der Logik — Band 1

by Georg Wilhelm Friedrich Hegel

Das Unendlichkleine der Differentialrechnung ist in seinem affirmativen Sinn als die qualitative Größenbestimmtheit, und von dieser näher aufgezeigt worden, daß sie in diesem Kalkul als Potenzenbestimmtheit nicht nur überhaupt, sondern als die besondere des Verhältnisses einer Potenzenfunktion zu der Entwicklungspotenz vorhanden ist. Die qualitative Bestimmtheit ist aber auch noch in weiterer, so zu sagen, schwächerer Form vorhanden, und diese, wie auch der damit zusammenhängende Gebrauch des Unendlichkleinen und dessen Sinn in diesem Gebrauche, soll noch in dieser Anmerkung betrachtet werden.

Es ist, indem wir vom Vorhergehenden ausgehen, in dieser Rücksicht zuerst daran zu erinnern, daß die unterschiedenen Potenzenbestimmungen von der analytischen Seite zunächst so hervortreten, daß sie nur formell, und ganz homogen darin sind, daß sie Zahlengrößen bedeuten, die als solche jene qualitative Verschiedenheit gegeneinander nicht haben. Aber in der Anwendung auf räumliche Gegenstände zeigt sich das analytische Verhältniß ganz in seiner qualitativen Bestimmtheit, als das Übergehen von linearen zu Flächenbestimmungen, von geradlinigten zu krummlinigten u.s.f. Diese Anwendung bringt es ferner mit sich, daß die räumlichen ihrer Natur nach in Form von kontinuirlichen Größen gegebenen Gegenstände in diskreter Weise gefaßt werden, die Fläche also als eine Menge von Linien, die Linie als eine Menge von Punkten u.s.f. Diese Auflösung hat das einzige Interesse, die Punkte, in welche die Linie, die Linien, in welche die Fläche u.s.f. aufgelöst ist, selbst zu bestimmen, um von solcher Bestimmung aus analytisch, d. h. eigentlich arithmetisch fortgehen zu können; diese Ausgangspunkte sind für die zu findenden Größebestimmungen die Elemente, aus welchen die Funktion und Gleichung für das Konkrete, die kontinuirliche Größe, abgeleitet werden soll. Für die Probleme, wo sich nornehmlich das Interesse zeigt, dieß Verfahren zu gebrauchen, wird im Elemente für den Ausgang ein für sich selbst Bestimmtes verlangt, gegen den Gang, der indirekt ist, indem er im Gegentheil nur mit Grenzen beginnen kann, zwischen welchen das Fürsichbestimmte liege, auf das als sein Ziel er losgehe. Das Resultat läuft in beiden Methoden dann auf dasselbe hinaus, wenn sich nur das Gesetz des weitern Fortbestimmens finden läßt, ohne die geforderte vollkommene d. h. sogenannte endliche Bestimmung erlangen zu können. Kepplern wird die Ehre zugeschrieben, zuerst den Gedanken jener Umkehrung des Ganges gehabt und das Diskrete zum Ausgangspunkte gemacht zu haben. Seine Erklärung, wie er den ersten Satz in Archimed's Kreismessung verstehe, drückt dieß auf eine einfache Weise aus. Der erste Satz Archimed's ist bekanntlich, daß der Kreis einem rechtwinklichten Dreieck gleich ist, dessen eine Kathete dem Halbmesser, die andere dem Umfange des Kreises gleich ist. Indem Keppler den Sinn dieses Satzes so nimmt, daß die Peripherie des Kreises ebenso viele Theile als Punkte, d. i. unendlich viele habe, deren jeder als die Grundlinie eines gleichschenklichten Dreiecks betrachtet werden könne, u.s.f., so spricht er die Auflösung des Kontinuirlichen in die Form des Diskreten aus. Der Ausdruck des Unendlichen, der hierbei vorkommt, ist noch weit entfernt von der Bestimmung, die er in dem Differentialkalkul haben soll.—Wenn nun für solche diskrete eine Bestimmtheit, Funktion gefunden ist, so sollen sie ferner zusammengefaßt werden, wesentlich als Elemente des Kontinuirlichen seyn. Da aber eine Summe von Punkten keine Linie, eine Summe von Linien keine Fläche giebt, werden die Punkte schon sogleich als lineare genommen, wie die Linien als flächenhafte. Weil jedoch zugleich jene Lineare noch keine Linien seyn sollen, was sie seyn würden, wenn sie als Quantum genommen würden, so werden sie als unendlich klein vorgestellt. Das Diskrete ist nur eines äußerlichen Zusammenfassens fähig, in welchem die Momente den Sinn von diskretem Eins behalten; der analytische Übergang von denselben geschieht nur zu ihrer Summe, er ist nicht zugleich der geometrische von dem Punkte in die Linie, oder von der Linie in die Fläche u.s.f.; dem Elemente, das als Punkt oder als Linie seine Bestimmung hat, wird daher zugleich auch mit jenem die lineare, dieser die Flächenqualität gegeben, damit die Summe als von kleinen Linien eine Linie, als von kleinen Flächen eine Fläche werde.

Das Bedürfniß, dieß Moment des qualitativen Übergangs zu erhalten und dafür zu dem Unendlich-kleinen die Zuflucht zu nehmen, muß als die Quelle aller der Vorstellungen angesehen werden, welche, indem sie jene Schwierigkeit ausgleichen sollen, an ihnen selbst die größte Schwierigkeit sind. Diese Nothhülfe entbehrlich zu machen, müßte gezeigt werden können, daß in dem analytischen Verfahren selbst, welches als ein bloßes Summiren erscheint, in der That schon ein Multipliciren enthalten ist. Aber in dieser Rücksicht tritt eine neue Annahme, welche die Grundlage in dieser Anwendung arithmetischer Verhältnisse auf geometrische Figurationen ausmacht, ein, nämlich daß das arithmetische Multipliciren auch für die geometrische Bestimmung ein Übergang in eine höhere Dimension,—die arithmetische Multiplikation von Größen, die ihrer räumlichen Bestimmungen nach Linien sind, zugleich eine Produktion des Linearen zur Flächenbestimmung sey; 3mal 4 lineare Fuße giebt 12 lineare Fuße, aber 3 lineare Fuße, mal 4 linearen Fußen giebt 12 Flächenfuße und zwar Quadratfuße, indem die Einheit in beiden als diskreten Größen dieselbe ist. Die Multiplikation von Linien mit Linien bietet sich zunächst als etwas Widersinniges dar, insofern die Multiplikation überhaupt Zahlen betrifft, d. i. eine Veränderung von solchen ist, welche mit dem, in das sie übergehen, mit dem Produkte ganz homogen sind, und nur die Größe verändern. Dagegen ist das, was Multipliciren der Linie als solcher mit Linie hieße,—es ist, ductus lineae in lineam, wie plani in planum genannt worden, es ist auch ductus puncti in lineam—eine Veränderung nicht bloß der Größe, sondern ihrer als qualitativer Bestimmung der Räumlichkeit, als einer Dimension; das Übergehen der Linie in Fläche ist als Außersichkommen derselben zu fassen, wie das Außersichkommen des Punktes die Linie, der Fläche ein ganzer Raum ist. Es ist dieß dasselbe, was so vorgestellt wird, daß die Bewegung des Punktes die Linie u.s.f. sey; aber die Bewegung schließt die Zeitbestimmung ein, und erscheint so in jener Vorstellung mehr nur als eine zufällige, äußerliche Veränderung des Zustands; es ist aber die Begriffsbestimmtheit, die als Außersichkommen ausgedrückt worden, zu nehmen,—die qualitative Veränderung, und welche arithmetisch ein Multipliciren, der Einheit (als des Punktes u.s.f.) in die Anzahl (in die Linie u.s.f.) ist.—Es kann hiezu noch bemerkt werden, daß bei dem Außersichkommen der Fläche, was als ein Multipliciren von Fläche in Fläche erscheinen würde, sich der Schein eines Unterschiedes des arithmetischen und geometrischen Producirens so ergiebt, daß das Außersichkommen der Fläche, als ductus plani in planum arithmetisch eine Multiplikation der zweiten Dimensionsbestimmung mit solcher, hiermit ein Product von vier Dimensionen gäbe, das aber durch die geometrische Bestimmung auf drei herabgesetzt wird. Wenn auf der einen Seite die Zahl darum, weil sie das Eins zu ihrem Princip hat, die feste Bestimmung für das äußerliche Quantitative giebt, so sehr ist ihr Produciren formell; 3. 3 als Zahlbestimmung genommen sich selbst producirend ist 3. 3. 3. 3; aber dieselbe Größe als Flächenbestimmung sich producirend wird bei 3. 3. 3 zurückgehalten, weil der Raum als ein Hinausgehen vom Punkte, der nur abstrakten Grenze, aus vorgestellt, seine wahrhafte Grenze, als konkrete Bestimmtheit von der Linie aus in der dritten Dimension hat. Der angeführte Unterschied könnte sich in Rücksicht der freien Bewegung, worin die eine die räumliche Seite, unter der geometrischen Bestimmung (im kepplerischen Gesetze s[hoch 3] : t[hoch 2]), die andere, die zeitliche Seite unter der arithmetischen steht, von Wirksamkeit zeigen.

Wie das Qualitative, das hier betrachtet wird, von dem Gegenstande der vor. Anm. verschieden ist, kann nun ohne weitere Bemerkung von selbst erhellen. In dieser lag das Qualitative in der Potenzenbestimmtheit; hier ist dasselbe, wie das Unendlichkleine, nur als Faktor arithmetisch gegen das Produkt, oder als Punkt gegen die Linie, Linie gegen Fläche u.s.f. Der qualitative Übergang nun, der von dem Diskreten, als in welches die kontinuirliche Größe aufgelöst vorgestellt wird, zu dem Kontinuirlichen zu machen ist, wird als ein Summiren bewerkstelligt.

Daß aber die angebliche bloße Summation in der That eine Multiplikation, also den Übergang von der linearen in die Flächenbestimmung in sich selbst enthält, erscheint am einfachsten in der Art, wie zum Beispiel gezeigt wird, daß der Flächeninhalt eines Trapezes gleich sey dem Produkt der Summe der beiden gegenüberstehenden parallelen Linien in die halbe Höhe. Diese Höhe wird nur als die Anzahl von einer Menge diskreter Größen vorgestellt, welche summirt werden sollen.

Diese Größen sind Linien, die parallel zwischen jenen zwei begrenzenden Parallelen liegen; es sind deren unendlich viele; denn sie sollen die Fläche ausmachen, sind aber Linien, welche also um ein Flächenhaftes zu seyn, zugleich mit der Negation gesetzt werden müssen. Um der Schwierigkeit zu entgehen, daß eine Summe von Linien eine Fläche geben sollte, werden Linien sogleich als Flächen aber gleichfalls als unendlich dünne angenommen, denn ihre Determination haben sie allein in dem Linearen der parallelen Grenzen des Trapezes. Als parallel und durch das andre Paar der geradlinigten Seiten des Trapezes begrenzt, können sie als die Glieder einer arithmetischen Progression vorgestellt werden, deren Differenz dieselbe überhaupt ist, aber nicht bestimmt zu werden braucht, und deren erstes und letztes Glied jene beiden Parallelen sind; die Summe solcher Reihe ist bekanntlich das Produkt jener Parallelen in die halbe Anzahl der Glieder. Dieß letzte Quantum ist nur ganz relativ auf die Vorstellung von den unendlich vielen Linien Anzahl genannt; es ist die Größebestimmtheit überhaupt eines Kontinuirlichen,—der Höhe. Es ist deutlich, daß was Summe heißt, zugleich ein ductus lineae in lineam, Multipliciren von Linearem mit Linearem, nach obiger Bestimmung ein Hervorgehen von Flächenhaftem ist. In dem einfachsten Falle nun eines Rektangels überhaupt a b ist jeder der beiden Faktoren eine einfache Größe, aber schon in dem weitern selbst elementarischen Beispiele vom Trapez ist nur der eine Faktor das Einfache der halben Höhe, der andere dagegen wird durch eine Progression bestimmt; er ist gleichfalls ein Lineares, dessen Größebestimmtheit aber verwickelter ist; insofern sie nur durch eine Reihe ausgedrückt werden kann, so heißt analytisch, d. h. arithmetisch das Interesse, sie zu summiren; das geometrische Moment darin aber ist die Multiplikation, das Qualitative des Übergangs aus der Dimension der Linie in die Fläche; der eine Faktor ist diskret nur für die arithmetische Bestimmung des andern genommen worden, und ist für sich, wie dieser, die Größe eines Linearen.

Das Verfahren, Flächen als Summen von Linien vorzustellen, wird aber auch häufig gebraucht, wo nicht eine Multiplikation als solche zu Behufe des Resultates Statt hat. Dieß geschieht, wo es nicht darum zu thun ist, die Größe in der Gleichung als Quantum anzugeben, sondern in einer Proportion. Es ist z.B. eine bekannte Art zu zeigen, daß eine Kreisfläche sich zur Fläche einer Ellipse, deren große Achse der Diameter jenes Kreises ist, verhalte wie die große zur kleinen Achse, indem jede dieser Flächen als die Summe der ihr zugehörigen Ordinaten genommen wird; jede Ordinate der Ellipse verhält sich zu der entsprechenden des Kreises wie die kleine zur großen Achse, also wird geschlossen, verhalten auch die Summen der Ordinaten d. i. die Flächen ebenso. Diejenigen, welche dabei die Vorstellung der Fläche als eine Summe von Linien vermeiden wollen, machen die Ordinaten mit der gewöhnlichen ganz überflüssigen Aushülfe zu Trapezen von unendlich kleiner Breite; da die Gleichung nur eine Proportion ist, kommt nur das Eine der zwei linearen Elemente der Fläche in Vergleichung. Das andere, die Abscissenachse, ist in Ellipse und Kreis als gleich, als Faktor arithmetischer Größebestimmung also gleich = 1 angenommen, und die Proportion daher ganz nur von dem Verhältniß des einen bestimmenden Moments abhängig. Zur Vorstellung der Fläche sind die zwei Dimensionen nothwendig; aber die Größebestimmung, wie sie in jener Proportion angegeben werden soll, geht nur auf das eine Moment allein; der Vorstellung damit nachgeben oder aufhelfen, daß die Vorstellung von Summe zu diesem einen Momente hinzugefügt wird, ist eigentlich eine Verkennung dessen, worauf es hier für die mathematische Bestimmtheit ankömmt.

Was hier auseinandergesetzt worden, enthält auch das Kriterium für die früher erwähnte Methode der Untheilbaren des Cavalleri, die damit ebenso gerechtfertigt ist, und der Zuflucht zu dem Unendlichkleinen nicht bedarf. Diese Untheilbaren sind Linien, indem er eine Fläche, oder Quadrate, Kreisflächen, indem er eine Pyramide oder Konus u.s.f. betrachtet; die als bestimmt angenommene Grundlinie, Grundfläche nennt er die Regel; es ist die Konstante, in Beziehung auf eine Reihe das erste oder letzte Glied derselben; mit ihr werden jene Untheilbaren parallel, also in gleicher Bestimmung in Rücksicht der Figur betrachtet, Der allgemeine Grundsatz Cavalleri's ist nun, (Exerc. Geometr. VI.—das spätere Werk-Exerc. I. p. 6.), daß alle sowohl ebene, als körperliche Figuren im Verhältnisse aller ihrer Indivisibilien sind, diese kollektive und wenn etwa ein gemeinschaftliches Verhältniß in solchen Statt findet, distributive mit einander verglichen."—Er vergleicht zu diesem Behufe in den Figuren von gleicher Grundlinie und Höhe gemacht, die Verhältnisse von den Linien, die parallel mit jener und in gleicher Entfernung mit ihr gezogen werden; alle solche Linien einer Figur haben eine und dieselbe Bestimmung, und machen deren ganzen Inhalt aus. Auf solche Weise beweist Cavalleri z.B. auch den elementarischen Satz, daß Parallelogramme von gleicher Höhe im Verhältnisse ihrer Grundlinie sind; jede zwei Linien, in gleicher Entfernung von der Grundlinie und mit ihr parallel, in beiden Figuren gezogen, sind in demselben Verhältnisse der Grundlinien, also die ganzen Figuren. In der That machen die Linien nicht den Inhalt der Figur als kontinuirlicher aus, aber den Inhalt, insofern er arithmetisch bestimmt werden soll; das Lineare ist sein Element, durch welches allein die Bestimmtheit desselben gefaßt werden muß.

Wir werden hierbei darauf geführt, auf den Unterschied zu reflektiren, der in Ansehung dessen Statt findet, worein die Bestimmtheit einer Figur fällt, nämlich entweder ist sie beschaffen, wie hier die Höhe der Figur, oder ist sie äußere Grenze. Insofern sie als äußere Grenze ist, giebt man zu, daß der Gleichheit oder dem Verhältnisse der Grenze die Kontinuität der Figur so zu sagen folgt; z.B. die Gleichheit der Figuren, die sich decken, beruht darauf, daß die begrenzenden Linien sich decken. Bei Parallelogrammen aber von gleicher Höhe und Grundlinie ist nur die letztere Bestimmtheit eine äußere Grenze; die Höhe, nicht die Paralleleität überhaupt, auf welcher die zweite Hauptbestimmung der Figuren, ihr Verhältniß, beruht, führt ein zweites Princip der Bestimmung zu den äußern Grenzen herbei. Der euklidische Beweis von der Gleichheit der Parallelogramme, die gleiche Höhe und Grundlinie haben, führt sie auf Dreiecke zurück, auf äußerlich begrenzte Kontinuirliche; in Cavalleri's Beweis, zunächst über die Proportionalität von Parallelogrammen, ist die Grenze Größebestimmtheit als solche überhaupt, welche als an jedem Paare von Linien, die mit gleichem Abstand in beiden Figuren gezogen werden, genommen, explicirt wird, Diese gleichen oder in gleichem Verhältniß mit der Grundlinie stehenden Linien, kollektiv genommen, geben die in gleichem Verhältnisse stehenden Figuren. Die Vorstellung eines Aggregats von Linien geht gegen die Kontinuität der Figur; allein die Betrachtung der Linien erschöpft die Bestimmtheit, auf welche es ankommt, vollkommen Cavalleri giebt häufige Antwort auf die Schwierigkeit, als ob die Vorstellung von den Untheilbaren es mit sich führe, daß der Anzahl nach unendliche Linien oder Ebenen verglichen werden sollen, (Geom. Lib. II. Prop. 1. Schol.); er macht den richtigen Unterschied, daß er nicht die Anzahl derselben, welche wir nicht kennen,—d. i. vielmehr die, wie bemerkt worden, eine zu Hülfe genommene leere Vorstellung ist,—sondern nur die Größe, d. i. die quantitative Bestimmtheit als solche, welche dem von diesen Linien eingenommenen Raume gleich ist, vergleiche; weil dieser in Grenzen eingeschlossen ist, ist auch jene seine Größe in dieselben Grenzen eingeschlossen; das Kontinuirliche ist nichts anderes, als die Untheilbaren selbst, sagt er; wäre es etwas außer diesen, so wäre es nicht vergleichbar; es würde aber ungereimt seyn, zu sagen, begrenzte Kontinuirliche seyen nicht miteinander vergleichbar.

Man sieht, daß Cavalleri dasjenige, was zur äußerlichen Existenz des Kontinuirlichen gehört, von demjenigen unterscheiden will, worin dessen Bestimmtheit fällt und das für die Vergleichung und zum Behufe von Theoremen über dasselbe allein herauszuheben ist. Die Kategorien, die er dabei gebraucht, daß das Kontinuirliche aus den Untheilbaren zusammengesetzt sey oder bestehe und dergleichen, sind freilich nicht genügend, weil dabei die Anschauung des Kontinuirlichen oder, wie vorhin gesagt, dessen äußerliche Existenz, zugleich in Anspruch genommen wird; statt zu sagen, "daß das Kontinuirliche nichts anderes ist, als die Untheilbaren selbst," würde es richtiger und damit auch sogleich für sich klar heißen, daß die Größebestimmtheit des Kontinuirlichen keine andere ist, als die der Untheilbaren selbst. —Cavalleri macht sich nichts aus der schlechten Folgerung, daß es größere und kleinere Unendliche gebe, welche aus der Vorstellung, daß die Untheilbaren das Kontinuirliche ausmachen, von der Schule gezogen werde, und drückt weiterhin (Geom. Lib. VII. Praef.) das bestimmtere Bewußtseyn aus, daß er durch seine Beweisart keineswegs zur Vorstellung der Zusammensetzung des Kontinuirlichen aus dem Untheilbaren genöthigt sey; die Kontinuirlichen folgen nur der Proportion der Untheilbaren. Er habe die Aggregate der Untheilbaren nicht so genommen, wie sie in die Bestimmung der Unendlichkeit, um einer unendlichen Menge von Linien oder Ebenen willen, zu verfallen scheinen, sondern insofern sie eine bestimmte Beschaffenheit und Natur der Begrenztheit an ihnen haben. Um denn aber doch diesen Stein des Anstoßes zu entfernen, läßt er sich die Mühe nicht verdrießen, noch in dem eigens dafür hinzugefügten siebenten Buche, die Hauptsätze seiner Geometrie auf eine Art zu beweisen, welche von der Einmischung der Unendlichkeit frei bleibe.—Diese Manier reducirt die Beweise auf die vorhin angeführte, gewöhnliche Form des Deckens der Figuren, d. i. wie bemerkt worden, der Vorstellung der Bestimmtheit als äußerer Raumgrenze.