Die gewöhnliche Methode nun, welche die Vorstellung der Differenz als des Unendlichkleinen gebraucht, macht sich die Sache leicht; für die Quadratur der Kurven also nimmt sie ein unendlich kleines Rektangel, ein Produkt der Ordinate in das Element d. i. das Unendlichkleine der Abscisse, für das Trapez, das zu einer seiner Seiten den unendlichkleinen, jenem unendlichkleinen der Abscisse gegenüberstehenden Bogen habe; das Produkt wird nun in dem Sinne integrirt, daß das Integral die Summe der unendlich vielen Trapeze, die Ebene, deren Bestimmung verlangt wird, nämlich die endliche Größe jenes Elements der Ebene gebe. Ebenso formirt sie aus den Unendlichkleinen des Bogens, und der dazu gehörigen Ordinate und Abscisse ein rechtwincklichtes Dreieck, in welchem das Quadrat jenes Bogens gleich sey der Summe der Quadrate der beiden andern Unendlichkleinen, deren Integration den Bogen als einen endlichen giebt.
Dieß Verfahren hat die allgemeine Entdeckung, welche diesem Gebiete der Analysis zu Grunde liegt, zu seiner Voraussetzung, hier in der Weise, daß die quadrirte Kurve, der rectificirte Bogen u.s.f. zu einer gewissen durch die Gleichung der Kurve gegebenen Funktion, in dem Verhältniß der sogenannten ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten steht. Es handelt sich darum zu wissen, wenn ein gewisser Theil eines mathematischen Gegenstandes (z.B. einer Kurve) als die abgeleitete Funktion angenommen werde, welcher andere Theil desselben durch die entsprechende ursprüngliche Funktion ausgedrückt ist. Man weiß, daß wenn die durch die Gleichung der Kurve gegebene Funktion der Ordinate als abgeleitete Funktion genommen wird, die relativ ursprüngliche Funktion der Größenausdruck der von dieser Ordinate abgeschnittenen Area der Kurve ist, daß wenn eine gewisse Tangentenbestimmung als abgeleitete Funktion angesehen wird, die ursprüngliche Funktion derselben die Größe des zu dieser Tangentenbestimmung gehörigen Bogens ausdrückt, u. s. f. daß nun aber diese Verhältnisse, das eine einer ursprünglichen Funktion zu der abgeleiteten, das andere von den Größen zweier Theile oder Umstände des mathematischen Gegenstandes, eine Proportion bilden, dieß zu erkennen und zu beweisen, erspart sich die Methode, die das Unendlichkleine und die mechanische Operation mit demselben gebraucht. Das eigenthümliche Verdienst des Scharfsinns ist, aus den anderwärts her bereits bekannten Resultaten herausgefunden zu haben, daß gewisse und welche Seiten eines mathematischen Gegenstandes, in dem Verhältnisse von ursprünglicher und von abgeleiteter Funktion stehen.
Von diesen beiden Funktionen ist die abgeleitete, oder wie sie bestimmt worden ist, die Funktion der Potenzirung, hier in diesem Kalkul die gegebene, relativ gegen die ursprüngliche, als welche erst aus jener durch die Integration, gefunden werden soll. Allein sie ist nicht unmittelbar gegeben, noch ist es für sich schon gegeben, welcher Theil oder Bestimmung des mathematischen Gegenstands als die abgeleitete Funktion angesehen werden soll, um durch Zurückführung derselben auf die ursprüngliche den andern Theil oder Bestimmung zu finden, deren Größe das Problem verlangt. Die gewöhnliche Methode, die, wie gesagt, sogleich gewisse Theile des Gegenstandes als unendlich klein, in der Form abgeleiteter Funktionen, vorstellt, welche sich aus der ursprünglich gegebenen Gleichung des Gegenstandes überhaupt durch die Differentiirung bestimmen lassen, (—wie für die Rektifikation einer Kurve, die unendlichkleinen Abscissen und Ordinaten), nimmt dafür solche, welche sich mit dem Gegenstande des Problems, (in dem Beispiele, dem Bogen) der ebenso als unendlichklein vorgestellt wird, in eine Verbindung bringen lassen, die in der Elementar-Mathematik festgestellt ist, und wodurch, wenn jene Theile bekannt sind, auch dieser bestimmt ist, dessen Größe zu finden aufgegeben ist; so werden für die Rektifikation die angegebenen drei Unendlichkleinen in die Verbindung der Gleichung des rechtwinklichten Dreiecks gebracht, für die Quadratur die Ordinate mit der unendlichkleinen Abscisse in die Verbindung eines Produkts, indem eine Ebene überhaupt arithmetisch als Produkt von Linien angenommen ist. Der Übergang von solchem sogenannten Elemente der Ebene, des Bogens u.s.f. zur Größe der Ebene, des Bogens u.s.f. selbst, gilt dann nur als das Aufsteigen von dem unendlichen Ausdruck zum endlichen, oder zur Summe der unendlich vielen Elemente, aus denen die verlangte Größe bestehen soll.
Es kann daher nur oberflächlich gesagt werden, daß die Integralrechnung bloß das umgekehrte, überhaupt jedoch schwierigere Problem der Differentialrechnung sey; das reelle Interesse der Integralrechnung geht vielmehr ausschließlich auf das Verhältniß der ursprünglichen und der abgeleiteten Funktion in den konkreten Gegenständen, zu einander.
Lagrange ist ebenso wenig in diesem Theile des Kalkuls darauf eingegangen, die Schwierigkeit der Probleme auf die glatte Weise jener direkten Annahmen abzuthun. Es wird zur Erläuterung der Natur der Sache beitragen, gleichfalls das Nähere seines Verfahrens aus einigen wenigen Beispielen anzugeben. Dasselbe macht es sich eben zur Aufgabe, für sich zu beweisen, daß zwischen besondern Bestimmungen eines mathematischen Ganzen z.B. einer Kurve, ein Verhältniß von der ursprünglichen zu der abgeleiteten Funktion Statt finde. Dieß kann nun aber in diesem Felde vermöge der Natur des Verhältnisses selbst, welches am mathematischen Gegenstande, krumme mit geraden Linien, lineare Dimensionen und Funktionen derselben mit Ebenen-Flächen-Dimensionen und deren Funktion u.s.f. also qualitativ verschiedene in Beziehung bringt, nicht auf direkte Weise bewerkstelligt werden, die Bestimmung läßt sich so nur als die Mitte zwischen einem Größern und Kleinern auffassen. Hiermit tritt von selbst wohl wieder die Form eines Zuwachses mit Plus und Minus ein, und das rüstige: Développons, ist an seiner Stelle; aber wie die Zuwächse hier nur arithmetische, endliche Bedeutung haben, davon ist vorhin gesprochen worden. Aus der Entwicklung jener Bedingung, daß die zu bestimmende Größe größer als die eine leicht bestimmbare Grenze und kleiner als die andere sey, wird dann z.B. hergeleitet, daß die Funktion der Ordinate die abgeleitete erste Funktion zu der Funktion der Area ist.
Die Rektifikation der Kurven, wie sie von Lagrange aufgezeigt wird, indem er von dem archimedischen Princip ausgeht, hat das Interesse, die Übersetzung der archimedischen Methode in das Princip der neuern Analysis einzusehen,
was einen Blick in das Innere und in den wahrhaften Sinn des auf die andere Art mechanisch betriebenen Geschäftes thun läßt. Die Verfahrungsweise ist der so eben angegebenen nothwendig analog; das archimedische Princip, daß der Bogen einer Kurve größer ist, als seine Chorde und kleiner als die Summe zweier an den Endpunkten des Bogens, gezogenen Tangenten, insoweit sie zwischen diesen Punkten und ihrem Durchschnittspunkt enthalten sind, giebt keine direkte Gleichung. Die Übertragung jener archimedischen Grundbestimmung in die moderne analytische Form ist die Erfindung eines Ausdrucks, der für sich eine einfache Grundgleichung sey, während jene Form nur die Forderung aufstellt, zwischen einem zu Großen und zu Kleinen, die sich jedesmal bestimmt haben, ins Unendliche fortzugehen, welches Fortgehen wieder immer nur ein neues zu Großes und ein neues zu Kleines jedoch in immer engern Grenzen giebt. Vermittelst des Formalismus des Unendlichkleinen wird sogleich die Gleichung dz[hoch 2] = dx[hoch 2] + dy[hoch 2] angesetzt. Die lagrangesche Exposition ausgehend von der angegebenen Grundlage zeigt hingegen auf, daß die Größe des Bogens die ursprüngliche Funktion ist zu einer abgeleiteten, von der das eigenthümliche Glied selbst eine Funktion aus dem Verhältnisse einer abgeleiteten zu der ursprünglichen der Ordinate ist.
Weil in dem archimedischen Verfahren, wie dann später in der kepplerschen Behandlung stereometrischer Gegenstände, die Vorstellung vom Unendlichkleinen vorkommt, so ist dieß so oft als eine Autorität für den Gebrauch, der von dieser Vorstellung in dem Differentialkalkul gemacht wird, angeführt worden, ohne daß das Eigenthümliche und Unterscheidende herausgehoben worden wäre. Das Unendlichkleine bedeutet zunächst die Negation des Quantums als eines solchen, d. i. eines sogenannten endlichen Ausdrucks, der vollendeten Bestimmtheit, wie sie das Quantum als solches hat. Ebenso ist in den darauf folgenden berühmten Methoden des Valerius, Cavalleri u. a., die sich auf die Betrachtung der Verhältnisse geometrischer Gegenstände gründen, die Grundbestimmung, daß das Quantum als solches der Bestimmungen, welche nur im Verhältnisse zunächst betrachtet werden, für diesen Behuf auf die Seite gestellt und sie hiernach als ein Nicht-Großes sollen genommen werden. Aber Theils ist hiermit das Affirmative überhaupt, welches hinter der bloß negativen Bestimmung liegt, nicht erkannt und herausgehoben, welches sich oben abstrakt als die qualitative Größebestimmtheit, und diese bestimmter in dem Potenzenverhältnisse liegend, sich ergeben hat;—Theils aber, indem dieß Verhältniß selbst wieder eine Menge näher bestimmter Verhältnisse in sich begreift, wie das einer Potenz und deren Entwicklungsfunktion, so haben sie auch wieder auf die allgemeine und negative Bestimmung desselben Unendlichkleinen gegründet und daraus abgeleitet werden sollen. In der eben ausgehobenen lagrangeschen Exposition ist das bestimmte Affirmative, das in der archimedischen Entwicklungsweise der Aufgabe liegt, gefunden und damit dem mit einem unbegrenzten Herausgehen behafteten Verfahren seine richtige Grenze gegeben worden. Das Große der modernen Erfindung für sich und ihre Fähigkeit vorher intraktable Probleme zu lösen, und die früher lösbaren auf eine einfache Weise zu behandeln, ist allein in die Entdeckung des Verhältnisses der ursprünglichen zu den sogenannten abgeleiteten und der Theile, welche an dem mathematischen Ganzen in solchem Verhältnisse stehen, zu setzen. Die gemachten Anführungen mögen für den Zweck genügen, das Eigenthümliche des Verhältnisses von Größen herauszuheben, welches der Gegenstand der in Rede stehenden besondern Art des Kalkuls ist. Diese Anführungen konnten sich auf einfache Probleme und deren Auflösungsweisen beschränken; und weder wäre es für die Begriffsbestimmung, um die es hier allein zu thun war, zweckmäßig gewesen, noch hätte es in dem Vermögen des Verfassers gestanden, den gesammten Umfang der sogenannten Anwendung der Differential- und Integralrechnung vorzunehmen und die Induktion, daß das aufgezeigte Princip derselben zu Grunde liege, durch die Zurückführung aller ihrer Probleme und deren Lösungen darauf, zu vervollständigen. Das Beigebrachte hat aber hinreichend gezeigt, daß wie jede besondere Rechnungsweise eine besondere Bestimmtheit oder Verhältniß der Größe zu ihrem Gegenstande hat, und ein solches das Addiren, Multipliciren, das Erheben in Potenzen und Ausziehen der Wurzeln, die Rechnung mit Logarithmen, Reihen u.s.f., konstituirt, ebenso der Differential- und Integralkalkul; für das diesem Kalkul Angehörige möchte der Name des Verhältnisses einer Potenzenfunktion und der Funktion ihrer Entwicklung oder Potenzirung der passendste seyn, weil er der Einsicht der Natur der Sache am nächsten liegt. Nur wie die Operationen nach den andern Größenverhältnissen, wie Addiren u.s.f. bei diesem Kalkul überhaupt gleichfalls gebraucht werden, werden auch die Logarithmen—Kreisund Reihen-Verhältnisse angewendet, insbesondere um Ausdrücke zum Behuf der erforderlichen Operationen des Ableitens der ursprünglichen aus den Entwicklungsfunktionen traktabler zu machen. Mit der Reiheform hat die Differential- und Integralrechnung wohl das nähere Interesse geineinschaftlich, die Entwicklungsfunktionen, welche bei den Reihen die Koefficienten der Glieder heissen, zu bestimmen; aber indem das Interesse jenes Kalkuls nur auf das Verhältniß der ursprünglichen Funktion zu dem nächsten Koefficienten ihrer Entwicklung geht, will die Reihe in der nach Potenzen, die mit jenen Koefficienten versehen sind, geordneten Menge von Gliedern eine Summe darstellen. Das Unendliche, das bei der unendlichen Reihe vorkommt, der unbestimmte Ausdruck des Negativen des Quantums überhaupt, hat mit der affirmativen Bestimmung, welche im Unendlichen jenes Kalkuls liegt, nichts gemein. Ebenso ist das Unendlichkleine, als der Zuwachs, vermittelst dessen die Entwicklung in die Form der Reihe fällt, nur ein äußeres Mittel für die Entwickelung, und seine sogenannte Unendlichkeit ohne alle andere Bedeutung, als die, sonst gar keine zu haben, als die jenes Mittels; die Reihe, da sie in der That es nicht ist, die verlangt wird, führt ein Zuviel herbei, welches wieder wegzubringen, die überflüssige Mühe macht. Von dieser Mühe ist die Methode Lagrange's, der die Form der Reihe vorzugsweise wieder aufgenommen hat, gleichfalls gedrückt; obgleich sie es ist, durch welche in dem, was die Anwendung genannt wird, die wahre Eigenthümlichkeit sich heraushebt, indem ohne die Formen von dx, dy u. s.f. in die Gegenstände hinein zu zwängen, direkt derjenige Theil nachgewiesen wird, dem an ihnen die Bestimmtheit der abgeleiteten (- Entwickelungs—) Funktion zukommt, und es sich damit zeigt, daß die Form der Reihe hier nicht das ist, um das es sich handelt.[[13]]
[13] In der obenangeführten Kritik (Jahrb. für wissensch. Krit. II. B. 1827. Nr. 155. 6. folg.) finden sich interessante Äußerungen eines gründlichen Gelehrten des Faches, Um. Spehr's, aus seinen neuen Principien des Fluentenkalkuls, Braunschw. 1826. angeführt, die nämlich einen Umstand betreffen, der wesentlich zu den Dunkelheiten und dem Unwissenschaftlichen in der Differentialrechnung beitrage, und stimmen mit dem überein, was über das allgemeine Verhältniß der Theorie dieses Kalkuls gesagt worden ist: "man hat" heißt es daselbst, "rein arithmetische Untersuchungen, welche freilich von allen ähnlichen zunächst auf die Differentialrechnung Bezug haben, nicht von der eigentlichen Diff.-Rechnung gesondert, ja diese Untersuchungen wohl gar, wie Lagrange, für die Sache selbst gehalten, während man diese nur als Anwendung jener ansah. Diese arithmetischen Untersuchungen begreifen die Regeln der Differentation, die Ableitung des taylorschen Lehrsatzes u.s.w. ja selbst die verschiedenen Integrationsmethoden in sich. Es ist ganz umgekehrt der Fall, jene Anwendungen sind es gerade, welche den Gegenstand der eigentlichen Differential-Rechnung ausmachen, und alle jene arithmetischen Entwicklungen und Operationen setzt sie aus der Analysis voraus."—Es ist aufgezeigt worden, wie bei Lagrange die Trennung der sogenannten Anwendung von dem Verfahren des allgemeinen Theils, das von den Reihen ausgeht, eben dazu dient, die eigenthümliche Sache der Differ.-Rechnung für sich zum Vorschein zu bringen. Aber bei der interessanten Einsicht des Hrn. Vfs., daß eben die sogenannten Anwendungen es sind, welche den Gegenstand der eigentlichen Differ.-Rechnung ausmachen, ist es zu verwundern, wie derselbe sich in die (ebendas. angeführte) formelle Metaphysik von kontinuirlicher Größe, Werden, Fließen u.s.f. hat einlassen und solchen Ballast noch mit neuem gar hat vermehren wollen; formell sind diese Bestimmungen, indem sie nur allgemeine Kategorien sind, welche eben das Specifische der Sache nicht angeben, die aus den konkreten Lehren, den Anwendungen, zu erkennen und zu abstrahiren war.