[547] Beiträge zur geometrischen Interpretation binärer Formen (Erlangen, 1875); vgl. Math. Ann. 9; Studien im binären Wertgebiete (Karlsruhe, 1876); Math. Ann. 17; Erlanger Berichte, 1875.
[548] Siehe das Werk: Einführung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften (Leipzig, 1883).
[549] Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine Korrespondenz aufstellen, so daß einem Paare von Elementen, das eine genommen in dem einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein solches im dritten Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines Elementes die anderen beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt man die Korrespondenz trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde erster Stufe von R o s a n e s (Journ. für Math. 1888) behandelt, sodann von S c h u b e r t (Math. Ann. 17 und Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg, 1881) und in einem Spezialfalle von B e n n o K l e i n (Theorie der trilinear-symmetrischen Elementargebilde, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde zweiter Stufe von H a u c k (Journ. für Math. 90, 97, 98), welcher einige Anwendungen derselben auf die darstellende Geometrie machte, die von bemerkenswertem praktischen Nutzen zu sein scheinen.
Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen L e P a i g e mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die Essais de Géométrie supérieure du troisième ordre (Mém. de la Soc. des sciences de Liège II, 10) und die Noten, welche im Bulletin de l'Académie de Belgique III, 5 und in den Wiener Ber. 1883 veröffentlicht sind. Derselbe Geometer beschäftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung (Torino Atti 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen Flächen und gewisse Flächen vierter Ordnung (Bulletin de l'Académie de Belgique III, 4; Acta math. 5).
Wir unterlassen nicht, zu erwähnen, daß die duploprojektive Beziehung, durch welche schon 1862 F. A u g u s t die kubische Oberfläche erzeugte (Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation), eine trilineare Beziehung ist.
[550] Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) berührt. Läßt man K dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte angegebenen Art. Ähnlich erhält man eine duale Korrespondenz. Beide wurden von M o n t a g in seiner Dissertation: Über ein durch die Sätze von Pascal und Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem (Breslau, 1871) studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus der Beobachtung entnehmen, daß jeder Punkt der Ebene ABC der Mittelpunkt eines Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben ist, eines ihm umgeschriebenen und eines solchen, für welchen ABC ein Polardreieck ist. Ähnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem Punkte P des Raumes die Fläche zweiter Ordnung zuordnen, für welche P das Zentrum ist und in bezug auf welche ABCD ein Polartetraeder ist.
[551] Math. Ann. 6.
[552] Man sehe außerdem die Arbeiten von G o d t (Göttinger Dissertation, 1873), A r m e n a n t e (Lincei Atti, 1875), B a t t a g l i n i (Giorn. di Matem. 19, 20), P e a n o (Torino Atti 16) und von A m o d e o (Napoli Rend. 1887). Die den Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von K r a u s e behandelt (Math. Ann. 14). Man sehe auch zwei Noten von L a z z e r i, Sulle reciprocità birazionali nel piano e nello spazio (Lincei Rend. 1886).
[553] Gauss' Werke, 4. Bd. Eine italienische Übersetzung wurde von B e l t r a m i in den Annali di Matem. 4 veröffentlicht.
[554] Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehören in die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden sind, auf die Schriften von F i o r i n i, Le projezioni delle carte geografiche (Bologna, 1881) und Z ö p p r i t z, Leitfaden der Kartenentwurfslehre (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen mit den Arbeiten von T i s s o t (Comptes rendus 49; vgl. auch D i n i, Memoria sopra alcuni punti della teoria delle superficie [Florenz, 1868]; Journ. Éc. polyt. 37; Nouv. Ann. II, 17 flgg.), weil sie ein großes Interesse auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben.