[665] Zum Beweise, daß die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten beziehen, bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils, die immer bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich hier zwei Stellen anführen, die eine von einem Schriftsteller, der allen, welche sich mit Philosophie beschäftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere aus einer Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: ».... so gewiß ist es logische Spielerei, ein System von vier oder fünf Dimensionen noch Raum zu nennen. Gegen solche Versuche muß man sich wahren; sie sind Grimassen der Wissenschaft, die durch völlig nutzlose Paradoxien das gewöhnliche Bewußtsein einschüchtern und über sein gutes Recht in der Begrenzung der Begriffe täuschen« (L o t z e, Logik, S. 217). »Die absolute oder Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes und die Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder Krankheitserscheinungen der Mathematik« (J. G i l l e s, Blätter für das Bayrische Gymnasial- und Realschulwesen 28, S. 423). Man sehe auch die heftigen Äußerungen D ü h r i n g s, die von E r d m a n n in seiner trefflichen Abhandlung: Die Axiome der Geometrie (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben sind, ferner K r o m a n, Unsere Naturerkenntnis, deutsch von F i s c h e r - B e n z o n (Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap. 13 und 14 des Werkes von S t a l l o, La matière et la physique moderne (Paris, 1884). Auf Vorwürfe von der oben erwähnten Art erwidern wir mit d ' A l e m b e r t: »Allez en avant, et la foi vous viendra!«

[666] Als Litteraturnachweis für diesen Teil der Geometrie sehe man die Artikel von G. B r u c e - H a l s t e d, veröffentlicht im Amer. Journ. 1 und 2.

[667] Es ist dieser Satz: »Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite.« D ' A l e m b e r t nannte diesen Satz: »l'écueil et le scandale des éléments de la géométrie«.

[668] Eine Zeit lang glaubte man, daß der fragliche Satz von Euklid unter die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s. H a n k e l, Vorlesungen über komplexe Zahlen und ihre Funktionen, S. 52) neigen zu der Ansicht, daß derselbe irrtümlicher Weise von den Abschreibern zu den Axiomen geschrieben sei, während er im Originale unter den Postulaten gestanden hatte.

[669] Vgl. Die Elemente der Mathematik von B a l t z e r, 4. Teil, Planimetrie.

[670] Man erzählt, L a g r a n g e habe beobachtet, daß die sphärische Geometrie von dem Euklidischen Postulate unabhängig sei, und gehofft, aus dieser Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu können, den Ungelegenheiten der Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene Geometrie als die Geometrie auf einer Kugel mit unendlich großem Radius betrachtete.

[671] Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher, herausgegeben von P e t e r s, 6 Bände (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses Briefwechsels sind von H o ü e l ins Französische übersetzt und seiner 1866 erschienenen französischen Übersetzung von L o b a t s c h e w s k y s Geometrischen Untersuchungen (vgl. Note 10) zugefügt.

[672] Vgl. die Gedächtnisschrift auf G a u ß von S c h e r i n g in den Göttinger Abh. 22 (1877).

[673] Göttingische Gelehrte Anzeigen, 1816 und 1822; oder Gauss' Werke 4 (1873), S. 364 und 368. Vgl. auch S a r t o r i u s v o n W a l t e r s h a u s e n, Gauss zum Gedächtnis (Leipzig, 1856), S. 81. — Möge es gestattet sein, hier die Mitteilung anzuschließen, daß G a u ß das alte Problem der Kreisteilung, in dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwärts gekommen war, durch Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich gefördert hat, das ohne Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst für die Geometrie nicht erwartete (Disquisitiones arithmeticae, Leipzig, 1801; Werke 1; vgl. B a c h m a n n, Die Lehre von der Kreisteilung, Leipzig, 1872), indem er zeigte, daß die Teilung in n Teile mit Hilfe von Lineal und Zirkel auch noch möglich ist, wenn n eine Primzahl von der Form 2m +1 ist. Man sehe hierzu auch L e g e n d r e, Éléments de trigonométrie, Anhang; R i c h e l o t, S t a u d t, S c h r ö t e r, Journ. für Math. 9, 24, 75; A f f o l t e r, Math. Ann. 6.

[674] Courier von Kasan, 1829-1830; Abhandlungen der Universität Kasan, 1835, 1836, 1837, 1838; Geometrische Untersuchungen über die Theorie der Parallellinien (Berlin, 1810); Journ. für Math. 17.