[675] Die Schrift von J o h a n n B o l y a i erschien als Anhang des Werkes von W. B o l y a i: Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae ..... introducendi, 2. Bd. (Maros-Vásárhely 1833), wurde dann ins Französische übersetzt von H o ü e l (Mémoires de Bordeaux), ins Italienische von B a t t a g l i n i (Giorn. di Matem. 5).

[676] Es ist das Verdienst H o ü e l s (?—1886) und B a t t a g l i n i s, die Werke von L o b a t s c h e w s k y und B o l y a i durch Übersetzungen und vorzügliche Kommentare (s. Note 7 und 11 und Giorn. di Matem. 5 und 8) verbreitet zu haben. — Heute ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da F l y e Ste M a r i e (Etudes analytiques sur la théorie des parallèles, Paris, 1871), F r i s c h a u f (Elemente der absoluten Geometrie, Leipzig, 1876) und d e T i l l y (Essai sur les principes fundamentaux de la géométrie et de la mécanique, Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben haben. In England wurden die neuen Ideen über die Prinzipien der Geometrie bearbeitet und herrlich dargestellt von C l i f f o r d; man sehe die Schrift Lectures and Essays, sowie die von S m i t h den Mathematical Papers by W. K. Clifford (London, 1882) vorausgeschickte Einleitung.

[677] Göttinger Abh. 13 (1867), oder Gesammelte Werke (Leipzig, 1876), ins Französische übersetzt von H o ü e l (Annali di Matem. II, 3), ins Englische von C l i f f o r d (Nature 8 oder Mathematical Papers S. 55).

[678] In der Abhandlung Über die Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Göttinger Nachr. 1868).

[679] Hierzu sehe man Populäre wissenschaftliche Vorträge von H e l m h o l t z (Braunschweig, 1871-1876); Revue des cours scientifiques, 9. Juli 1870 etc.

[680] Giorn. di Matem. 6. Dieser Artikel wurde ins Französische übersetzt von H o ü e l und veröffentlicht in den Ann. Éc. norm. 6, 1869.

[681] Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d ' A l e m b e r t die Meinung zurückwies, daß die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (Traité de Dynamique, Paris, 1858, Discours préliminaire, S. XII), mit den folgenden von C l i f f o r d (The Common Sense of the Exact Sciences, London, 1885, International Scientific Series 51): »In derselben Weise, wie wir, um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen stützen, welche solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That ein Ergebnis der Erfahrung.« Man sehe auch das Werk von H o ü e l, Du rôle de l'expérience dans les sciences exactes (Prag, 1875), oder die Übersetzung, die davon in Grunerts Arch. 59 veröffentlicht wurde.

[682] Ich bemerke, daß, wer die Ausdehnungslehre des großen deutschen Geometers und Philologen H e r m a n n G r a ß m a n n liest, mit Erstaunen sehen wird, daß er schon 1844 zu Schlüssen gelangt war, die von den im Texte angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer weiß nicht, daß, um geschätzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk nötig hatte, daß andere auf einem anderen Wege zu den äußerst originellen Wahrheiten gelangten, die es enthält? — Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklärung zu geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen Geschichte der Kämpfe, welche die Geometer in diesen letzten Zeiten ausgefochten haben, traf es sich selten und nur flüchtig, daß ich Arbeiten von G r a ß m a n n zitierte, und ich glaube nicht, daß ich noch Gelegenheit haben werde, diesen Namen auszusprechen. Das heißt nicht, daß dieser Geometer nicht der Erwähnung würdig sei, daß seine Entdeckungen und seine Methoden nicht verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt daran, daß der Formalismus, in den er seine Gedanken gekleidet, sie den meisten unzugänglich gemacht und ihnen fast jede Möglichkeit genommen hat, irgend einen Einfluß auszuüben. G r a ß m a n n war während eines großen Teiles seines Lebens ein Einsiedler in der Mathematik; nur während seiner letzten Jahre befaßte er sich damit, etliche seiner Produktionen in modernem Gewande zu veröffentlichen, um deren Verwandtschaft mit denen seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe Math. Ann. 10, 12; Göttinger Nachr. 1872; Journ. für Math. 84); daher ist es natürlich, daß ihn zu nennen demjenigen selten widerfährt, welcher sich vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. — Man vergleiche P e a n o, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva (Turin, 1888). — Über die wissenschaftlichen Verdienste G r a ß m a n n s sehe man einen Artikel von C r e m o n a in den Nouv. Ann. I, 19, dann den 14. Bd. der Math. Ann. und den 11. Bd. des Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche. Ein Vergleich zwischen den Methoden G r a ß m a n n s und anderen moderneren wurde von S c h l e g e l in der Zeitschr. f. Math. 24 gemacht.

[683] Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie (Math. Ann. 4).

[684] Nouv. Ann. 12.