Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die P l ü c k e r schen Formeln gelösten ist, ob jeder Lösung derselben eine wirkliche Kurve entspreche, mußte man negativ antworten, da neuere Untersuchungen

dargethan haben, daß für gewisse Kurven (die rationalen Kurven) die Zahl der Rückkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht übersteigen kann.[[66]]

Auf der anderen Frage, die Plückerschen Formeln auf eine Kurve auszudehnen, welche mit Singularitäten höherer Ordnung ausgestattet ist, beruhen die Untersuchungen von C a y l e y und anderen,[[67]] welche zu dem Schlüsse geführt haben, daß jede Singularität einer Kurve als äquivalent einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und Doppeltangenten betrachtet werden kann.

Ich füge noch hinzu, daß man durch J a c o b i,[[68]] H e s s e (1811-1874),[[69]] S a l m o n,[[70]] C a y l e y[[71]] und deren zahlreiche Kommentatoren[[72]] heute im Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Berührungspunkte ihrer Doppeltangenten anzugeben.

Dank dem einen der überaus wertvollen Lehrbücher,[[73]] mit welchen S a l m o n so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich über diese und viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.

Man braucht aber nicht zu glauben, daß bei diesem Studium der fortwährende Gebrauch der Analysis unumgänglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch E u l e r, C r a m e r, P l ü c k e r, S a l m o n eine ebenso vollständige, aber mehr geometrische Theorie.

In einer berühmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie gemacht wurde, zeigte S t e i n e r, indem er die Theorie der Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche B o b i l l i e r (1797-1832) schon vordem[[74]] als eine Erweiterung der Diametralkurven Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch G r a ß m a n n (1809-1877) sich beschäftigt hatte,[[75]] daß dieselbe als Grundlage für ein vom Gebrauche der Koordinaten unabhängiges Studium der ebenen Kurven dienen kann, und führte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von S t e i n e r selbst, von C h a s l e s[[76]] und J o n q u i è r e s[[77]] über die Entstehung der algebraischen Kurven vermittelst projektiver Büschel von Kurven niederer Ordnung, dienten als Grundlage für die Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane,[[78]] in

welcher C r e m o n a in einer einheitlichen Methode zugleich mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war.

Bei dem außerordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, daß man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von Abhandlungen zu stellen hat, in welchen C l e b s c h (1833-1872) zuerst die Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[[79]] und Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie für das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benützte.[[80]] Es ist wahr, daß B r i l l und N ö t h e r in einer Abhandlung,[[81]] deren Bedeutung von Tag zu Tag wächst, gezeigt haben, daß die Theorie der algebraischen Funktionen in vielen Fällen die der eben angeführten Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern vergrößert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von C l e b s c h zuerkennen muß, da die von hervorragenden Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines