Theorie der Oberflächen.
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Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluß der Analysis auf dieselbe mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu, sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschäftigen, welche Analogien mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn auch die Forschungen über die Oberflächen
bald denen über die ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.
Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere Oberflächen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und Sphäroide, die plektoidischen Oberflächen und wenige andere). Erst W r e n (1669), P a r e n t und E u l e r begannen sich mit den Oberflächen zweiten Grades zu beschäftigen, und wir müssen zur Schule von M o n g e gehen, um die Eigenschaften von grösserer Wichtigkeit dieser höchst bemerkenswerten Oberflächen anzutreffen.[[125]] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die Flächen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele andere hinzugefügt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, wie J a c o b i,[[126]]
M a c C u l l a g h (1809-1847),[[127]] C h a s l e s,[[128]] H e s s e,[[129]] S e y d e w i t z (1807-1852),[[130]] S c h r ö t e r[[131]] konnte die Theorie der Oberflächen zweiter Ordnung in den mehr elementaren
Unterricht eingeführt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem Wege behandelt werden.[[132]]
Aber nach der Lehre von den Oberflächen zweiten Grades entstand und entwickelte sich alsbald die der Oberflächen höherer Ordnung. C h a s l e s[[133]] und G e r g o n n e,[[134]] als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare Eigenschaften. P o n c e l e t bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberfläche[[135]] und eröffnete so die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen führen sollten, mit welchen S a l m o n[[136]] und C a y l e y[[137]] die Lösung der analogen Aufgabe zu derjenigen versuchten, welche P l ü c k e r durch seine berühmten Formeln gelöst hatte.
J a c o b i[[138]] und später R e y e[[139]] beschäftigten sich mit den Kurven und Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflächen entstehen. C h a s l e s,[[140]] C r e m o n a,[[141]] R e y e,[[139]] E s c h e r i c h,[[142]] S c h u r,[[143]] mit ihrer
Entstehung vermittelst projektiver oder reciproker Systeme von Oberflächen niederer Ordnung, G r a ß m a n n (1809-1877)[[144]] mit anderen Erzeugungsweisen; S a l m o n,[[145]] C l e b s c h,[[146]] S t u r m,[[147]] S c h u b e r t[[148]] und andere behandelten eine wichtige Klasse von Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen Oberfläche Berührungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schließlich entdeckte S c h u r vor kurzem eine lineare Konstruktion[[149]] für Flächen beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der Oberflächen beliebiger Ordnung verdanken wir R e y e.[[150]]