zahlreichen Abhandlungen anschließen, welche die Minimalflächen behandeln. Wir führen zunächst die von S t e i n e r[[290]] und W e i e r s t r a ß[[291]] an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die von S c h e r k[[292]] und B o n n e t,[[293]] welche einige Spezialfälle derselben bearbeitet haben; S e r r e t[[294]] beschäftigte sich dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, R i e m a n n[[295]] und W e i e r s t r a ß[[296]] mit solchen, die einen gegebenen Umriß haben, G e i s e r[[297]] mit algebraischen, N o e v i u s[[298]] mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und unendlich viele ebene geodätische Linien besitzen; C a t a l a n[[299]] mit solchen, die als geodätische Linie eine Parabel haben, H e n n e b e r g[[300]] mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodätische Linie haben; B o n n e t[[301]] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen Krümmungslinien befindet; B o u r[[302]] diejenigen, welche auf eine Rotationsfläche sich abwickeln lassen; S c h w a r z solche, die durch ein windschiefes Vierseit bestimmt sind[[303]] oder die von Kegeln eingehüllt sind,[[304]] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische Kurven enthalten;[[305]]

E n n e p e r[[306]] untersuchte diejenigen, welche unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von M a t h e t[[307]] behandelt, von B e l t r a m i,[[308]] von L i e,[[309]] K i e p e r t,[[310]] H e n n e b e r g,[[311]] R i b a u c o u r,[[312]] B i a n c h i[[313]] und P i n c h e r l e.[[314]] Schließlich ist die Theorie der Minimalflächen einer bemerkenswerten Erweiterung fähig, die von L i p s c h i t z[[315]] entdeckt wurde.

Wir gehen jetzt dazu über, kurz auseinander zu setzen, welches die hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der Disquisitiones generales circa superficies curvas von G a u ß.

Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen höchst wichtigen Begriff, nämlich den der sphärischen Abbildung einer Oberfläche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (§ IV) treffen wir die zwei unabhängigen Veränderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der Punkte einer Oberfläche ausdrückt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf einer Oberfläche. (Vgl. auch die §§ XVII und XIX). Dann enthält § VI die Erweiterung der Betrachtung, die man gewöhnlich zur Grundlage der Theorie der Krümmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus welcher Erweiterung der Begriff des Krümmungsmaßes einer Oberfläche in einem

gewöhnlichen Punkte hervorgegangen ist.[[316]] Bekanntlich ist dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkrümmungsradien der Fläche in jenem Punkte[[317]] (§ VIII). Das Krümmungsmaß einer Oberfläche kann man sowohl durch die gewöhnlichen kartesischen Koordinaten (§§ VII und IX) als auch durch die krummlinigen Koordinaten der Oberfläche ausdrücken (§§ X und XI).[[318]]

Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren Bedeutung in der Theorie der Oberflächen, die auf eine andere abwickelbar sind[[319]] (§ XII), Gauß zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine neue Betrachtungsweise der Oberflächen auf (§ XIII), indem er dieselben als unendlich dünne, biegsame und unausdehnbare Körper ansah. Die folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauß behandeln die geodätischen Linien und haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke (§ XIV und XVIII), dann die Übertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (§ XV), der Parallelkurven (§§ XVI), auf die Geometrie auf einer Oberfläche, sowie die Berechnung der totalen Krümmung eines geodätischen Dreiecks (§ XX). Die §§ XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes für das Kurvenelement, die übrigen behandeln andere Fragen aus der Geodäsie und dürften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.

Schon aus diesen flüchtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauß ist. Die Entwickelungen, die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer machen. Unter diesen Arbeiten muß man den schönen Ricerche di analisi applicata alla geometria, die B e l t r a m i im zweiten und dritten Bande des Giornale di Matematiche veröffentlicht hat, eine hervorragende Stelle einräumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser Dalle variabili complesse su una superficie qualunque,[[320]] Teoria generale dei parametri differenziali[[321]] und Zur Theorie des Krümmungsmasses.[[322]] Bemerkenswert sind ferner die Studien von B o n n e t[[323]] und von D a r b o u x[[324]] über die sphärische Abbildung der Oberflächen, die sich an die ersten in den Disquisitiones enthaltenen Untersuchungen anknüpfen. Der Begriff der Krümmung führte zum Studium der Oberflächen mit konstanter (positiver oder negativer) Krümmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kräfte gewidmet haben. Unter diesen führen wir die zwei Arbeiten von B e l t r a m i an: Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette[[325]] und Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea,[[326]] dann die Schriften von D i n i,[[327]] L i e,[[328]]

B i a n c h i,[[329]] B ä k l u n d,[[330]] D a r b o u x[[331]] und D o b r i n e r.[[332]] Von derselben Art, aber allgemeiner, sind die Studien von C h r i s t o f f e l[[333]] über die Bestimmung der Gestalt einer Oberfläche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Maßen und von L i p s c h i t z[[334]] über die Oberflächen, welche bestimmte auf die Krümmung bezügliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.

An den Abschnitt der Gaußischen Abhandlung, welcher die geodätischen Linien behandelt, knüpfen sich einige Arbeiten von J o a c h i m s t h a l (1818-1861),[[335]] S c h e r i n g,[[336]] B e l t r a m i,[[337]] die von L i e[[338]] gemachte Einteilung der Oberflächen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodätischen Linien und die Untersuchungen über geodätische Kurven von demselben Verfasser.[[339]] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die Abwickelbarkeit der Oberflächen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von M i n d i n g in enger Beziehung,[[340]] in der zum ersten Male die Frage aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Krümmung in entsprechenden Punkten eine hinreichende Bedingung für die Abwickelbarkeit zweier Oberflächen sei: er gelangte für den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem