positiven dagegen für den Fall konstanter Krümmung. Dasselbe gilt von den Arbeiten von B o u r[[341]] (1832-1866), C o d a z z i[[342]] und B o n n e t,[[343]] welche für preiswürdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstände wurden dann in den Abhandlungen von C h r i s t o f f e l,[[344]] v o n M a n g o l d t,[[345]] W e i n g a r t e n,[[346]] B r i l l,[[347]] M i n d i n g,[[348]] J e l l e t,[[349]] D i n i,[[350]] E n n e p e r,[[351]] R a z z a b o n i,[[352]] L e c o r n u,[[353]] B e l t r a m i[[354]] und vielen anderen behandelt.

Die schöne von Gauß gegründete Theorie der krummlinigen Koordinaten einer Oberfläche ließ den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie für den Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte L a m é sie für einen Spezialfall auf, nämlich für den der elliptischen Koordinaten,[[355]] später wies er auf die orthogonalen krummlinigen Koordinaten

hin[[356]] und konstruierte dann die Theorie derselben,[[357]] ohne ihre Anwendung[[358]] und Entwickelung[[359]] zu vernachlässigen. Die berühmten Leçons sur la théorie des coordonnées curvilignes et leurs diverses applications (Paris, 1859) von L a m é fassen zusammen und vervollständigen die glänzenden Resultate, die von Lamé in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele andere mit demselben beschäftigt. Vor allen führe ich A o u s t an, der ihm viele und wichtige Arbeiten widmete,[[360]] dann B r i o s c h i,[[361]] C o d a z z i,[[362]] C h e l i n i (1802-1878),[[363]] D a r b o u x,[[364]] C o m b e s c u r e,[[365]] L e v y,[[366]] R o y e r[[367]] und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflächen behandeln und von denen ich nur diejenigen von B o u q u e t,[[368]] A. S e r r e t,[[369]] B o n n e t,[[370]] C a t a l a n,[[371]] M o u t a r d,[[372]] D a r b o u x,[[373]] C a y l e y,[[374]] R i b a u c o u r,[[375]]

W e i n g a r t e n,[[376]] S c h l ä f l i,[[377]] H o p p e,[[378]] B i a n c h i[[379]] und M o l i n s[[380]] nennen will.

Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflächen behandeln, die nicht zu bis jetzt besprochenen Kategorien gehören, führen wir die von L i e[[381]] an, welche sich auf Oberflächen beziehen, die infinitesimale lineare Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von E n n e p e r,[[382]] die sich auf Oberflächen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die von C a y l e y[[383]] und W e i n g a r t e n[[384]] und die von W i l l g r o d[[385]] über Oberflächen, welche durch ihre Krümmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt werden; schließlich die von B i a n c h i[[386]] über Schraubenflächen.

Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie der Oberflächen wurde durch die Bemühungen d e S a l v e r t s geschaffen, der in einigen eleganten Arbeiten,[[387]] wahrscheinlich hervorgerufen durch die schönen Vorlesungen über die analytische Geometrie des Raumes von H e s s e, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberfläche in ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System von Formeln für die Lösung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn die Gleichung z = φ(x, y) zu Grunde gelegt wird.

Über Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine verdankt man H o p p e; sie trägt den Titel: Elemente der Flächentheorie; eine andere wurde von B r i s s e unternommen;[[388]] die neuesten sind die von B i a n c h i in seinen sehr schönen Lezioni di geometria differenziale (Pisa, 1886) und die, welche D a r b o u x in seinen Leçons sur la théorie générale des surfaces begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen (Paris, 1887).

Wir wollen diesen Abschnitt beschließen, indem wir noch bemerken, daß die Zuhilfenahme der Analysis für das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht notwendig ist; vielmehr haben B e r t r a n d[[389]] und B o n n e t[[390]] zuerst gezeigt, welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen ziehen kann. Außerdem enthalten der erste Band des Traité de calcul différential et intégral von B e r t r a n d und der Traité de géométrie descriptive von d e l a G o u r n e r i e[[391]] und eine große Zahl von überaus schönen Abhandlungen von M a n n h e i m[[392]] bemerkenswerte geometrische Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir uns eben beschäftigt haben, angehören.