IV.
Untersuchungen über die Gestalt der Kurven
und Oberflächen. Abzählende Geometrie.
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Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der Kurven und die der Oberflächen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien der Untersuchung übergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen können.
Die erstere umfaßt eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflächen von gegebener Ordnung annehmen können, und ich halte es für angemessen, bei diesen eine Zeit lang zu verweilen.
Die Bestimmung der Gestalt der Kurven z w e i t e r Ordnung reicht schon in das Altertum. Für dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden Geistes, wenn man bedenkt, daß die Alten jene Kurven als Schnitte eines Kreiskegels betrachteten.
Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven d r i t t e r Ordnung annehmen können, nicht ohne Schwierigkeit. N e w t o n überwand diese, indem er lehrte, daß alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fünfen derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden können.[[393]] Zu dieser ersten Einteilung der Formen
der Kurven dritter Ordnung fügte C h a s l e s[[394]] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu verkennende Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven dritter Ordnung sämtlich auffinden durch Projektion von fünfen derselben, die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der Einteilung endlich stützt sich auf das konstante Doppelverhältnis der vier Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von D u r è g e entwickelt.[[395]]