Bei weitem grössere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der ebenen Kurven v i e r t e r Ordnung, die schon angeführten Arbeiten von B r a g e l o g n e, E u l e r und P l ü c k e r bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es scheint aber nicht, daß man diese — dasselbe gilt auch von den schon genannten auf die kubische Kurve bezüglichen — als die Grundlage zu einer allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr muß man dieselben als die ersten Vorläufer jener Lehren betrachten, die man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren gehören in das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie das Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft der Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von S t a u d t in seiner Geometrie der Lage[[396]] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die Gestalten der ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren Züge der Kurven, die Rückkehrelemente der Figuren; andere wurden von T a i t[[397]] angegeben und von J. M e y e r entwickelt,[[398]] andere schließlich von H a r t angedeutet[[399]] und mit vielem Glücke von E. K ö t t e r verallgemeinert.[[400]] Die zweiten sind fast alle aus der Schule von K l e i n hervorgegangen. Da ich auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes nicht eingehen kann, so möge es hier genügen, unter den schon erhaltenen Resultaten einige besondere Sätze über die Kurve vierter Ordnung anzuführen, die man Z e u t h e n[[401]] und C r o n e[[402]] verdankt; dann

eine sehr wichtige Relation zwischen den Zahlen der reellen und imaginären Singularitäten einer ebenen Kurve, zu welcher K l e i n geführt wurde,[[403]] als er die von P l ü c k e r[[404]] und Z e u t h e n vorgeschlagenen Klassifikationen der Kurven vierter Ordnung studierte; ferner einen sehr schönen Lehrsatz,[[405]] von H a r n a c k (1851-1888) entdeckt, welcher dadurch, daß er eine unerwartete Beziehung zwischen der Form einer Kurve und ihrem Geschlechte enthüllte, die Wichtigkeit des letzteren von neuem bestätigte.

Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen Untersuchungen über die Oberflächen sagen, daß sie sich noch in ihrer Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren meines Wissens nicht, außer denjenigen, die von M ö b i u s in seiner Theorie der elementaren Verwandtschaften niedergelegt sind,[[406]] und welche, so scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger erwarten lassen, welcher die ganze Fülle derselben zu Tage fördert. Dasselbe gilt für gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen Arbeiten von K l e i n zerstreut sind. Für den Fortschritt der Geometrie würde es von höchstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen; unglücklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten Jahren ist vielleicht Rohn[[407]] der einzige, der hierin einige Fortschritte gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden.

Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes Bedürfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die Bestimmung der Gestalt der Oberflächen zweiten Grades übergehe ich als zu einfach und führe die der Oberflächen dritter Ordnung an, die mit Erfolg von K l e i n,[[408]] S c h l ä f l i,[[409]] Z e u t h e n[[410]] gemacht ist, und neuerdings von B a u e r durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve vervollständigt wurde;[[411]] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir M a x w e l l[[412]] verdanken; dann die der Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Z e u t h e n[[413]] herrührt; die der Oberflächen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von C r o n e[[414]] ausgeführt ist; endlich die der Kummerschen Flächen und der Kegelflächen viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von R o h n[[415]] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von L u d w i g B r i l l, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt das Interesse, welches das gelehrte Deutschland für vorliegende Untersuchungen hat.[[416]]

Was die Gestalt der Kurven d o p p e l t e r Krümmung angeht, so existieren darüber bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man kann sagen, daß sich dieselben auf die Beobachtungen beschränken, die C h r. W i e n e r[[417]]

und B j ö r l i n g[[418]] gemacht haben, indem sie die Modelle der gewöhnlichen Singularitäten einer Raumkurve konstruierten.

Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genügen, die hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der B é z o u t sche Lehrsatz, welcher die Zahl der Lösungen eines bestimmten Systems von algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar für die Lösung solcher Fragen, da, während dieser Satz auf allgemeine Gleichungen ihres Grades sich stützt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche, diese Probleme analytisch zu lösen, erhält, von spezieller Form sind. Wahrscheinlich ist das der Grund dafür, daß diese Probleme größtenteils bis in verhältnismäßig neuerer Zeit ungelöst geblieben sind.[[419]]

Auf C h a s l e s fällt der Ruhm, in seiner Methode der Charakteristiken ein feines und mächtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine große Zahl von Problemen der angedeuteten Art für den Fall, daß die betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, lösen konnte und einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die

Gebilde beliebige sind, zur Lösung derselben zu gelangen.[[420]] Der Hauptgedanke desselben war die fortwährende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade berühren.