Dadurch, daß man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. C h a s l e s selbst entdeckte alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im Raume[[421]] und auf die Flächen zweiter Ordnung.[[422]] Z e u t h e n und M a i l l a r d gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung, die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver,[[423]] der andere in seiner Dissertation Recherches des caractéristiques des systèmes élémentaires de courbes
planes du troisième ordre;[[424]] andere findet der Leser in den Schriften von S t u r m über die kubischen Raumkurven[[425]] und denen von S c h u b e r t über die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume betrachtet.[[426]] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von C a y l e y, On the curves which satisfy given conditions[[427]] enthalten sind, sowie in einigen Arbeiten von J o n q u i è r e s über Systeme von Kurven und Flächen.[[428]] Endlich gehören hierher noch die Untersuchungen von H i r s t[[429]] und S t u r m[[430]] über Systeme von Projektivitäten und Korrelationen, sowie die von Z e u t h e n[[431]] über die Plückerschen Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, daß zwischen den Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von Kurven darstellen. Die gegebene Differentialgleichung läßt jedem Punkte eine bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese Beziehungen wurde C l e b s c h durch seine Untersuchungen über die Konnexe[[432]] (vgl. § VI) und unabhängig von F o u r e t[[433]]
geführt. In ähnlicher Weise kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster Ordnung mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflächen aufstellen, wie dies ebenfalls F o u r e t[[434]] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von grosser Wichtigkeit, weil er gestattet, Sätze auf transcendente Kurven oder Oberflächen auszudehnen, von denen man glaubte, daß sie nur für algebraische Kurven oder Oberflächen gültig seien; so konnte F o u r e t den Satz über die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene algebraische Kurve berühren, auf Systeme von transcendenten Kurven ausdehnen,[[435]] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Berührungspunkte eines einfach unendlichen Systemes von Oberflächen mit den Oberflächen eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[[436]] ebenso die Ordnung des Ortes der Berührungspunkte der Oberflächen eines doppelt unendlichen Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberfläche[[437]] u. s. w.[[438]]
Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kürze wegen übergehe, war die ganze Tragweite der C h a s l e s schen Betrachtungen noch nicht offenbar geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe, durch H e r m a n n S c h u b e r t in seinem Kalkül der abzählenden Geometrie.[[439]] Dieses Buch, das noch viel zu wenig
geschätzt wird, kann man mit Recht als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem behandelte, »zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genügen,« d. h. das Problem der abzählenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[[440]] dort ist klar erörtert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur zu verstehen hat, und sind Methoden von außerordentlicher Macht für dessen Lösung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, eines Tages das übliche Hilfsmittel für den Mathematiker zu werden, wie es augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der Übertreibung beschuldigen, der bedenkt, daß dieselben in einer Unzahl von Fällen zur Lösung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h. die Zahl der Lösungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu bestimmen. Daher müssen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von Schubert, durch welches er die abzählende Geometrie zu einer besonderen Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu bewundern, sich
vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu vervollkommnen und sie von Mängeln frei zu machen, d. h. sie von dem Tadel, der ihnen von einigen gemacht worden ist, daß sie nicht ganz strenge seien, zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen, deren sie fähig sind, zu vermehren.
Die auf die Theorie der Charakteristiken bezüglichen Andeutungen[[441]] würden eine unverzeihliche Lücke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick auf eine wichtige Frage böten, die zwischen einigen Geometern ventiliert wurde, und die man heute als schon gelöst betrachten darf. Geleitet nämlich durch einen Induktionsschluß, behauptete C h a s l e s, daß die Zahl derjenigen Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer neuen einfachen Bedingung genügen, ausgedrückt wird durch eine homogene lineare Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten einzig und allein von dieser Bedingung abhängen. D a r b o u x,[[442]] C l e b s c h,[[443]] L i n d e m a n n,[[444]] H u r w i t z und S c h u b e r t,[[445]] sowie noch andere glaubten diesen Satz beweisen zu können. Aber daß die von ihnen angeführten Gründe nicht beweiskräftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in welchen H a l p h e n[[446]] die Hinfälligkeit der Vermutung Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angeführten Satz modifizieren müsse. In der Theorie der Charakteristiken der Systeme von Flächen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls H a l p h e n[[447]] entdeckt hat. Jedoch glaube man nicht, daß diese Sätze
von Halphen die Resultate zerstören, welche man erhalten, indem man den Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind dieselben glücklicherweise meistenteils unabhängig von dem fraglichen Theorem, und für die anderen Fälle ist es leicht zu zeigen, welche Korrektionen man machen muß.[[448]]