mit der Geometrie der Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener Koordinaten behandelten. C l e b s c h[[621]] wandte auf diese Theorie die Methode der abgekürzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollständigte W e i l e r[[622]] die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, die K l e i n in seiner Dissertation angegeben hatte. V o ß[[623]] studierte in einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitäten der Systeme von Geraden; H a l p h e n bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten Bedingungen genügen;[[624]] N ö t h e r,[[625]] K l e i n[[626]] und C a p o r a l i[[627]] beschäftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades auf den gewöhnlichen Raum, A s c h i e r i mit der einiger spezieller Komplexe;[[628]] L i e stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht;[[629]] R e y e endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen Komplexe.[[630]] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere Theorie von C h a s l e s studiert[[631]] — schon 1839 —, von R e y e,[[632]]

von S i l l d o r f,[[633]] S c h u r,[[634]] B e r t i n i,[[635]] von d ' O v i d i o[[636]] und von W. S t a h l;[[637]] B u c h h e i m[[638]] bediente sich der Quaternionen, um die hauptsächlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen, während viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme von Geraden beziehen, glücklich in einigen Abhandlungen von M a n n h e i m,[[639]] L i e,[[640]] K l e i n,[[641]] P i c a r d[[642]] und K ö n i g s[[643]] gelöst wurden. Schließlich wurden einige spezielle Komplexe studiert von A s c h i e r i,[[644]] P a i n v i n,[[645]] von R e y e,[[646]] L i e,[[647]] W e i l e r,[[648]] R o c c e l l a,[[649]] von H i r s t,[[650]] V o ß,[[651]] G e n t y,[[652]] M o n t e s a n o,[[653]] von S e g r e und von mir.[[654]]

Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Plücker gegebenen Anstoße verdanken, müssen wir noch eine andere ebenso glänzende erwähnen, die aber

von ganz anderer Art ist. Sie umfaßt die Arbeiten von D u p i n,[[655]] M a l u s[[656]] (1775-1811) und Ch. S t u r m[[657]] (1803-1855), B e r t r a n d,[[658]] T r a n s o n[[659]] über die Normalen von Oberflächen und über die mathematische Theorie des Lichtes, dann die von H a m i l t o n (1805-1865) über Systeme von Strahlen.[[660]] Diese Arbeiten finden ihre Krönung in zwei berühmten Abhandlungen, die von K u m m e r in den Jahren 1857 und 1866 veröffentlicht sind.

In der ersteren, die im Journal für Mathematik[[661]] abgedruckt ist, hat sich K u m m e r die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere Methode die Resultate von H a m i l t o n darzulegen und sie in den Punkten, wo sie mangelhaft erschienen, zu vervollständigen.[[662]]

In der zweiten,[[663]] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen schönen allgemeinen Untersuchungen über die Zahl der Singularitäten eines Systemes von Strahlen und seiner Brennfläche, und löste die Frage, alle algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen, d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes e i n e r oder z w e i Strahlen des Systemes hindurchgehen.

Ich möchte wünschen, daß mir hinreichender Raum zu Gebote stände, um den Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser klassischen Arbeit hoch

zu schätzen, um ihn an der tiefen Bewunderung teilnehmen zu lassen, die ich für sie empfinde; ich möchte ihn sehen lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser zur Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen weiß, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflächen darstellen (welches jene Oberflächen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwähnen), zu den Singularitäten der Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange zwischen ihnen und den Singularitäten der Brennfläche u. s. w. Aber da die Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muß ich mich darauf beschränken, den Wunsch auszusprechen, daß dieser mein kurzer Überblick es bewirken könne, daß bei jedwedem das Verlangen entsteht, die Untersuchungen K u m m e r s selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, den er mit solchem Glücke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch aus, da mich die Beobachtung schmerzlich bewegt, daß in den zwanzig Jahren, die schon seit dem Erscheinen der K u m m e r schen Arbeit verflossen sind, es noch nicht gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so fruchtbar an schönen Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten Weise zu fördern.[[664]]