VIII.

Nicht-Euklidische Geometrie.

———

Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschäftigen habe, umfaßt eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen Veranlassung gegeben haben und — wunderbar zu sagen — eine Zeit lang die Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, »das eine gewappnet gegen das andere«;[[665]] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des Raumes, den man »Nicht-Euklidische Geometrie« und »Theorie der beliebig

ausgedehnten Mannigfaltigkeiten« oder »Geometrie von n Dimensionen«[[666]] nennt.

Jeder weiß, daß unter allen Sätzen, die in den Elementen des E u k l i d enthalten sind, es einen giebt,[[667]] der nur schlecht dazu paßt, wie es der griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate gestellt zu werden.[[668]] Derselbe ist von großer Wichtigkeit im Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der Parallelen gegründet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Sätze zu zählen, für welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der Fall sein sollte, ihn unterdrücken und durch einen anderen ersetzen könne, dessen Wahrheit offenbarer sei?

Diese Fragen sind ein natürlicher Ausfluß unseres Zeitalters, von welchem eine der hervorragendsten Eigentümlichkeiten (wie H u m b o l d t bemerkt) die unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit hinterlassen hat; sie müssen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen Geometrie angesehen werden.

Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des vergangenen Jahrhunderts von L e g e n d r e[[669]]

gemacht. Dieselben stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und führten L e g e n d r e dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von eben demselben Postulate unabhängig ist.[[670]]

Nahe zur selben Zeit wie L e g e n d r e, befaßte sich G a u ß mit dieser Frage. Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete veröffentlicht; seine Korrespondenz mit S c h u m a c h e r[[671]] und mit W o l f g a n g B o l y a i (1775-1856)[[672]] und einige bibliographische Artikel von ihm[[673]]