wir die Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser Begriffe, einiger Sätze und Formeln der elementaren Geometrie, die vorzüglich von R u d e l,[[743]] H o p p e,[[744]] S c h l e g e l[[745]] und M e h m k e[[746]] gemacht sind; dazu gehören auch die Untersuchungen von S t r i n g h a m,[[747]] H o p p e,[[748]] S c h l e g e l,[[749]] S c h e f f l e r,[[750]] R u d e l,[[751]] O. B i e r m a n n,[[752]] P u c h t a[[753]] und anderen über die regulären Körper des vierdimensionalen Raumes, die soweit gediehen, daß sie S c h l e g e l gestatteten, Modelle der Projektionen dieser Körper auf unseren Raum herzustellen.[[754]]

Außer dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche projektiv ist, während die erstere wesentlich metrisch ist.—Eine kurze Andeutung,

die von C a y l e y im Jahre 1846 gegeben wurde[[755]] über eine Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung hinwies. Aber es scheint, wie B a i l l y[[756]] bemerkt hat, »daß die Ideen, wie wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwäche haben; sie sind nicht von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit der Zeit ihre Fruchtbarkeit«. Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre verfließen, ehe der geniale Gedanke des großen englischen Geometers, in der richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Räume von n Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief.

Als Einleitung zu derselben muß man die wichtige Arbeit von C l i f f o r d ansehen: On the classification of loci,[[757]] in welcher das allgemeine Studium der Kurven in beliebigen linearen Räumen in Angriff genommen ist; jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche Erweiterungen derer sind, die man in der gewöhnlichen projektiven Geometrie zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, daß dieser neue Zweig der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die V e r o n e s e der Behandlung der projektiven Eigenschaften der Räume von n Dimensionen durch die Prinzipien des Schneidens und Projizierens gewidmet hat.[[758]] In derselben läßt der berühmte Verfasser, R i e m a n n folgend, einen Raum von n Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine Dimension weniger hat, von einem außerhalb gelegenen Punkte projiziert, und

indem er sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur Erweiterung des grösseren Teiles der Theorien der gewöhnlichen Geometrie der Lage.[[759]] Die Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung erörterten Prinzipien wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die Fortsetzung derselben bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch von Tag zu Tag ein Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle einnimmt. Unter ihnen will ich — abgesehen von denen, die V e r o n e s e selbst publiziert hat,[[760]] — die Untersuchungen von S e g r e anführen über die Theorie der quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre Anwendung auf die Geometrie der Geraden,[[761]] über die kollinearen und reciproken Korrespondenzen,[[762]] über die Büschel von Kegeln zweiten Grades,[[763]] über die Regelflächen,[[764]] über die Oberflächen vierter

Ordnung mit Doppelkegelschnitt[[765]] und über die Theorie der Systeme von Kegelschnitten,[[766]] dann die von B e r t i n i[[767]] und A s c h i e r i,[[768]] die verwandte Gegenstände behandeln; die Schriften von d e l P e z z o über die Oberflächen in einem n-dimensionalen Raume.[[769]] Noch viele andere müßte ich nennen, aber

Io non posso ritrar di tutti appieno;

Perocchè sì mi caccia il lungo tema,

Che molte volte al fatto il dir vien meno.[[770]]

Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten könnte, sind die — viel früher als die von V e r o n e s e erschienenen — von N ö t h e r über die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen Räumen (1869, 1874),[[771]] jene ebenfalls älteren von H a l p h e n (1875) über die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume enthalten sind,[[772]] von d ' O v i d i o