über die Metrik eines solchen Raumes (1876),[[773]] endlich die neuerlichen von S c h u b e r t über die abzählende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[[774]]

Schluss.

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Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu beschließen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So konnte ich nicht über die Theorie der projektiven Koordinaten berichten, die von C h a s l e s[[775]] erhalten wurden, als er die gewöhnlichen Cartesischen Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von S t a u d t[[776]] aufgestellt wurde und vollständiger von F i e d l e r;[[777]]

dann habe ich nicht über die Methode der symbolischen Bezeichnung berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck für den Geometer ist; die Theorie der Berührungstransformationen (L i e) und der Differential-Invarianten (H a l p h e n) habe ich stillschweigend übergangen, da sie auf der Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der Differentialgleichungen stehen; über die sogenannte Analysis situs habe ich mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von R i e m a n n geschaffen und von seinen Schülern betrieben wurde, um Probleme der Funktionentheorie zu lösen. Dann haben sich meiner Darlegung die schönen Auseinandersetzungen von B a t t a g l i n i und B a l l entzogen über die Kräfte und Bewegungen,[[778]] von C h a s l e s, A r o n h o l d, M a n n h e i m und B u r m e s t e r über die kinematische Geometrie und von R e y e über die Trägheitsmomente, da sie bisher[[779]] mehr zur Mechanik als zur Geometrie gehörig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten Experimenten P l a t e a u s (1801-1883) in bezug auf die Minimalflächen, deren Besitz die Physiker für sich beanspruchen, von den schönen Untersuchungen über die Polyeder (M ö b i u s, B r a v a i s, J o r d a n, H e ß), welche den Übergang von der Geometrie zur Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten über die geometrische Wahrscheinlichkeit (C r o f t o n, C z u b e r, C e s à r o), welche ich geneigt wäre unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich nicht über die Methode der Äquipollenzen gesprochen (B e l l a v i t i s) und die Theorie der Quaternionen (H a m i l t o n), da beide sich bis jetzt noch

nicht von so großer Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges Hilfsmittel des Geometers angesehen zu werden.

Ungern mußte ich hinweggehen über die Theorie der Kugelsysteme, die mit großem Erfolge von L i e und R e y e bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf die Theorie der Konfigurationen werfen können (R e y e, K a n t o r, J u n g, M a r t i n e t t i), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen ist, und auf die mehr den Elementen angehörige Erweiterung der Lehre vom Dreiecke, zu welcher Arbeiten von B r o c a r d[[780]] die Anregung gegeben haben. Kurz erwähnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen über Maximal- und Minimalfiguren, von denen die einen (P a i n v i n, P. S e r r e t, L e b e s g u e, B o r c h a r d t, K r o n e c k e r) das Problem von L a g r a n g e, das Tetraeder größten Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflächen gegeben sind, und Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[[781]] die anderen (L i n d e l ö f, B e r n e r, E d l e r, S t u r m, S c h w a r z, L a n g e, C e r t o) sich an die berühmten Aufsätze von S t e i n e r[[782]] anschließen.[[783]]

Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen übergangen werden, daß es unserem Jahrzehnte vergönnt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen Jahrhundert L a m b e r t[[784]] die Zahl π als irrational nachgewiesen, verblieb immer noch der Nachweis, daß π auch nicht Wurzel

einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit ist dargethan, daß die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer endlichen Anzahl von Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des Zirkels ausführbar sind, vollzogen werden könne. Dieser Beweis wurde, unter Benutzung H e r m i t e scher Vorarbeiten über die Exponentialfunktion, 1882 von L i n d e m a n n[[785]] erbracht.