| Beweis: | 2 + 2 = | 2 + 1 + 1 = | 3 + 1 = 4. |
| Def. 1. | Def. 2. | Def. 3. |
Also: nach dem Axiom: 2 + 2 = 4.«
Dieser Beweis scheint zunächst ganz aus Definitionen und dem angeführten Axiome aufgebaut zu sein. Auch dieses könnte in eine Definition verwandelt werden, wie es Leibniz an einem andern Orte[12] selbst gethan hat. Es scheint, dass man von 1, 2, 3, 4 weiter nichts zu wissen braucht, als was in den Definitionen enthalten ist. Bei genauerer Betrachtung entdeckt man jedoch eine Lücke, die durch das Weglassen der Klammern verdeckt ist. Genauer müsste nämlich geschrieben werden:
2 + 2 = 2 + (1 + 1)
(2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4.
Hier fehlt der Satz
2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1,
der ein besonderer Fall von
a + (b + c) = (a + b) + c
ist. Setzt man dies Gesetz voraus, so sieht man leicht, dass jede Formel des Einsundeins so bewiesen werden kann. Es ist dann jede Zahl aus der vorhergehenden zu definiren. In der That sehe ich nicht, wie uns etwa die Zahl 437986 angemessener gegeben werden könnte als in der leibnizischen Weise. Wir bekommen sie so, auch ohne eine Vorstellung von ihr zu haben, doch in unsere Gewalt. Die unendliche Menge der Zahlen wird durch solche Definitionen auf die Eins und die Vermehrung um eins zurückgeführt, und jede der unendlich vielen Zahlformeln kann aus einigen allgemeinen Sätzen bewiesen werden.
Dies ist auch die Meinung von H. Grassmann und H. Hankel. Jener will das Gesetz