In der Tat ist eine solche Theorie möglich; die beiden Forderungen stehen also in keinem Widerspruch. Z. B. könnte das nach Forderung b definierte Koordinatensystem dadurch entstehen, daß man in jedem Punkt des Feldes die Feldstärke mißt, den Mittelwert aller Feldstärken bildet und dasjenige System bestimmt, in dem dieser Mittelwert ein Minimum wird. Für konstante Feldstärke, also homogenes Feld, wäre dann das Mittel gleich der konstanten Feldstärke, also ein Minimum in demjenigen System, in dem die Feldstärke gleich Null ist; das wäre dann das Inertialsystem. So wäre der Anschluß der allgemeinen Theorie an den Spezialfall des homogenen Feldes und die spezielle Relativitätstheorie vollzogen. Natürlich müßte die angenommene Hypothese für das ausgezeichnete System noch mit der Erfahrung verglichen werden. Bemerkt sei übrigens, daß diese Auszeichnung eines Systems nicht etwa der Relativität der Koordinaten widerspricht. Daß der Raum sich in verschiedenen Systemen verschieden ausdrückt, ist selbstverständlich und keine physikalische Bevorzugung. Auch das homogene Gravitationsfeld kennt ja das ausgezeichnete euklidische System.

Jedoch ist die Voraussetzung a nicht die von Einstein gewählte. Zwar hält auch er an einem stetigen Übergang seiner Theorie in die spezielle fest. Die Voraussetzung a vollzieht diesen Übergang, indem sie bei festgehaltenem Raumgebiet die Feldstärken in den verschiedenen Punkten einander gleich werden läßt. Es gibt aber noch eine andere Form des Übergangs. Die Feldstärke muß als stetige Funktion des Raums angenommen werden; dann sind unendlich kleine Feldgebiete homogen. Wir können also den Übergang zum homogenen Feld auch in der Weise vollziehen, daß wir bei festgehaltener Feldstärke das Raumgebiet immer kleiner werden lassen. Diesen Übergang können wir in jedem Punkte des Feldes vornehmen, und wir wollen deshalb die folgende Einsteinsche Voraussetzung für die Extrapolation machen:

c) die Theorie soll in jedem Punkt des Feldes für unendlich kleine Gebiete übergehen in die spezielle Relativitätstheorie.

Wir fragen: Ist mit dieser Forderung c die Forderung b vereinbar?

Wir denken uns in einem inhomogenen Gravitationsfeld ein kleines Gebiet G1 ausgesucht, das wir als hinreichend homogen betrachten dürfen. Dort können wir ein Inertialsystem K1 wählen; in ihm verschwindet die Feldstärke. Das System nach Forderung b, das in jedem Punkte des Feldes euklidisch ist, muß also zu der Schar der gegen K1 gleichförmig translatorisch bewegten Systeme gehören, denn sonst könnte es für G1 nicht euklidisch sein. Dieselbe Überlegung wende ich nun auf ein zweites, entferntes Gebiet G1 an, in dem die Feldstärke einen anderen Wert hat als in G1. Die Inertialsysteme K1 in G1 müssen gegen K1 eine beschleunigte Bewegung ausführen, gehören also nicht zur Schar der Inertialsysteme in G1. Damit das System nach Forderung b in beiden Punkten euklidisch wird, müßte es sowohl zur Schar K1 wie zur Schar K1 gehören, das ist ein Widerspruch. Also ist Forderung c mit Forderung b nicht vereinbar.

Damit ist bewiesen, daß, wenn man aus der speziellen Relativitätstheorie nach der Einsteinschen Forderung c durch Extrapolation zu einer allgemeinen Relativitätstheorie übergeht, der euklidische Charakter des Raumes aufgegeben werden muß. Es ist danach in einem beliebigen Gravitationsfeld durch keine Koordinatenwahl möglich, dem Linienelement in allen Punkten zugleich die euklidische Form zu geben; das Krümmungsmaß des massenerfüllten Raumes ist von Null verschieden.

Die Forderung c beruht einerseits, wie wir bereits sagten, auf der Stetigkeit des Gravitationsfeldes. Da die Stetigkeit nicht bloß eine Eigenschaft der Gravitation ist, sondern allgemein für physikalische Größen vorausgesetzt wird, können wir von einem Prinzip der Stetigkeit physikalischer Größen sprechen. Andererseits beruht die Forderung c auf der Tatsache, daß der Raum für kleine Gebiete keine anderen Eigenschaften zeigt als für große, daß also der Raum homogen ist; denn nur unter dieser Voraussetzung dürfen wir fordern, daß für beliebig kleine Raumgebiete die spezielle Relativitätstheorie gilt, wenn nur die Feldstärke der Gravitation nahezu konstant wird. Würden wir die Homogenität des Raums nicht voraussetzen, so könnte der Fehler, der durch die Verkleinerung des Raumgebiets entsteht, den Einfluß der herabgesetzten Schwankung der Feldstärke in dem Gebiet gerade kompensieren, so daß doch keine Annäherung an die spezielle Relativitätstheorie zustande käme; dann dürften wir den Grenzübergang nur nach Forderung a vollziehen. Drittens beruht die Forderung c auf dem Einsteinschen Äquivalenzprinzip, denn sie besagt, daß jedes homogene Gravitationsfeld, das Schwerefeld ebenso wie das Trägheitsfeld, sich in ein kräftefreies Feld transformieren läßt. Hier liegt eine rein empirische Grundlage der Forderung c. Denn das Äquivalenzprinzip besagt weiter nichts als die Gleichheit von schwerer und träger Masse für jedes Gravitationsfeld, und diese Tatsache läßt sich nur durch das Experiment feststellen. Allerdings konnte das Experiment bisher nur im Erdfeld vorgenommen werden. Aber es ist eine normale Induktion, von diesem Versuche auf die allgemeine Äquivalenz zu schließen.

Man wird die Stetigkeit physikalischer Größen und die Homogenität des Raums evidente apriore Prinzipien im Kantischen Sinne nennen können. Dann dürfen wir, den Zusammenhang umkehrend, sagen, daß diese beiden aprioren Prinzipien einen Verzicht auf die Forderung c nur dann zulassen, wenn die träge und die schwere Masse im allgemeinen nicht gleich sind; das würde verlangen, daß man in der Deutung der bisherigen Beobachtungen auf diesem Gebiete von der normalen Induktion abweicht. Da nun die Forderung c zum Widerspruch gegen die Euklidizität des Raumes führt, so verlangt die Euklidizität umgekehrt, im Verein mit den anderen Prinzipien, den Verzicht auf die normale Induktion in der Äquivalenzfrage. Nennen wir noch die Forderung, daß die allgemeine Theorie für den speziellen Fall in die spezielle übergeht, die Stetigkeit der Gesetze, und verstehen wir unter dem Prinzip der speziellen Relativität den Gesamtinhalt der speziellen Relativitätstheorie als einer Theorie des kräftefreien Feldes, so dürfen wir jetzt behaupten, daß die allgemeine Relativitätstheorie folgende Prinzipien als gemeinsam unvereinbar mit der Erfahrung nachgewiesen hat.