Aufgabe 2. In der Grundebene ist ein Quadrat gegeben, von dem eine Seite ab in der Grundlinie liegt. Das Bild des Quadrates zu zeichnen.
Die Lage des gegebenen Quadrates abcd veranschaulicht [Fig. 18]. In der wirklichen Ausführung ([Fig. 19]) geben wir uns den Horizont hh mit dem Augenpunkt A und den beiden Distanzpunkten, D1 und D2, dazu parallel die Grundlinie gg mit den beiden Ecken a und b des Quadrates.
Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen, ziehen wir in beliebigem Abstand die Parallele (g)(g) und bestimmen vermittels der Vertikalen durch a und b die Lage (a)(b)(c)(d) des Quadrates nach der Verschiebung. Nun sind die Quadratseiten ad und bd Tiefenlinien, ihre Bilder müssen also nach [Satz 11] durch A gehen; die Punkte a und b sind aber die Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in aA und bA die Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten ad und bc liegen, und die Bilder d' und c' müssen bzw. auf aA und bA gelegen sein. Denken wir uns aber noch die Diagonale db konstruiert, welche in unserer Verschiebung als (d)(b) zu zeichnen ist, so ist das eine Linie, welche einen Winkel von 45° mit der Grundlinie bildet. Nach [Satz 13] ist also D1 der Fluchtpunkt dieser Geraden, b aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der Geraden db die Verbindungslinie bD1. Das Bild d' muß demnach sowohl auf aA als auch auf bD1 liegen, kann also nur der Schnittpunkt d' dieser beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild c' der Ecke c als Schnittpunkt von aD2 und bA. Das folgt sofort aus der Betrachtung der anderen Diagonale ac. Eine Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daraus, daß c'd' von selbst parallel gg sein muß. Denn die Quadratseite cd ist ja parallel zur Tafel, also nach [Satz 10] cd ∥ c'd'.[3] Da aber cd ∥ ab, so ist auch c'd' ∥ ab. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion des Bildes abc'd' gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung (a)(b)(c)(d) zu zeichnen. Im übrigen sei nochmals an die Bemerkung auf [S. 14] unten erinnert.
[3] ∥ ist das Zeichen für parallel.
Aufgabe 3. Einen in der Grundebene gelegenen quadratisch getäfelten Fußboden zu zeichnen.
Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in [Fig. 19] in der Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (a)(b)(c)(d) schließt sich die erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt sich eine zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion [Fig. 19] ergibt sich fast von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (e)(f), fliehen im Bilde alle nach A. Ferner erkennt man leicht, daß in dem System der Quadrate alle Diagonalen der einen und anderen Richtung sich zu zwei Scharen paralleler Geraden zusammensetzen. Das gilt also auch für das Bild, nur mit dem Unterschied, daß die Bilder aller dieser parallelen Geraden bzw. nach D1 und D2 laufen. In der [Fig. 19] sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet, während in der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle Diagonalen der Quadratbilder nach D1 oder D2 gehen, und außerdem je zwei Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die Figur zahllose Kontrollen.
15. Anwendungen dieser Aufgabe. Man würde aber irren, wollte man diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe eines Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher Parkettboden zu zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter die Möglichkeit, Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen richtig im Raume zu verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die Schätzung der Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls kann man sich vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel geben wir in [Abbildung 3] das Abendmahl des Altniederländers Dirk Bouts (1410(?)–1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen befand und von den Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf gewisse Unrichtigkeiten der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der primitiven Kunst lag eine solche Rücksicht auf richtige Verteilung der Objekte im Raume überhaupt gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe einer Anzahl von Menschen einfach neben- und übereinander, ohne sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper auch wirklich den ihnen entsprechenden Platz im Raume haben.
Abb. 3.