| I. | ||
| a) | b) | |
| S1 ← P | S1 ← nicht P | |
| S2 ← P | S2 ← nicht P | |
| S3 ← P | S3 ← nicht P | |
| . . . | . . . | |
| . . . | . . . | |
| Sn ← P | Sn ← nicht P | |
| Alle S ← wahrscheinlich P | Kein S ← wahrscheinlich nicht P | |
| II. Konjunktive Zusammenfassungen: | ||
| a) | b) | |
| S ← P1 | S ← nicht P1 | |
| S ← P2 | S ← nicht P2 | |
| S ← P3 | S ← nicht P3 | |
| . . . | . . . | |
| . . . | . . . | |
| S ← Pn | S ← nicht Pn | |
| S ← wahrscheinlich P | S ← wahrscheinlich nicht P | |
Zur Erläuterung seien Beispiele für I a und II a gegeben.
| I a. | II a. | |||||||
| Silber | ist | ein | guter | Wärmeleiter | Dieser | Körper | hat eine gelbliche Farbe | |
| Kupfer | „ | „ | „ | „ | „ | „ | leuchtet im Dunkeln | |
| Gold | „ | „ | „ | „ | „ | „ | ist (z.B. durch Reiben) ungemein leicht entzündlich | |
| Messing | „ | „ | „ | „ | Dieser | Körper | brent mit helleuchtender Flamme | |
| Zink | „ | „ | „ | „ | Dieser | Körper | ist in Wasser unlöslich | |
| Zinn | „ | „ | „ | „ | „ | „ | schmilzt bei 44,4° C | |
| Eisen | „ | „ | „ | „ | „ | „ | siedet bei 290° C unter Bildung farbloser Dämpfe | |
| Blei | „ | „ | „ | „ | Dieser | Körper | ist ungemein giftig | |
| . | . | . | . | . | . | . | ... | |
| Alle Metalle werden gute Wärmeleiter sein. | Dieser Körper wird gelber kristallinischer Phosphor sein. | |||||||
Vergleicht man die erweiternden mit den zusammenfassenden Induktionen, so ergibt sich, daß die verallgemeinernde Induktion die kopulative, die ergänzende die konjunktive Zusammenfassung zu ihrer Voraussetzung hat. Der logische Prozeß der Induktion geht vom Einzelnen zunächst zum zusammenfassend-Allgemeinen und von da zur verallgemeinernden oder ergänzenden Erweiterung über. Die Zahl der Prämissen in erweiternden Induktionen kann nie kleiner als zwei, nach oben aber beliebig groß sein. Das Schlußurteil bleibt stets von problematischer (bzw. approximativer) Gültigkeit; denn was für den Teil eines Ganzen als gültig erwiesen ist, gilt für den übrigbleibenden, noch unbekannten Teil desselben Ganzen immer nur mit mehr oder minder großer Wahrscheinlichkeit, nie aber tatsächlich oder notwendig. Die induktiven Schlüsse sind mithin ihrem Wesen nach Wahrscheinlichkeitsschlüsse. Darin liegt ihr charakteristischer Unterschied zu den deduktiven Ableitungen, die im Gegensatz zu ihnen geradezu als Notwendigkeitsschlüsse bezeichnet werden können. Hier wie dort zwar bilden die Prämissen den logischen Grund der Konklusio. Läßt sich der Syllogismus indessen darstellen durch ein hypothetisches Gefüge apodiktischer Konsequenz (wenn S ← M und: wenn M ← P, dann notwendig S ← P), so die Induktion durch ein hypothetisches Gefüge problematischer Konsequenz (wenn S1 ← P, S2 ← P, S3 ← P usw. ..., dann wahrscheinlich alle S ← P). In dem einen ist die Ableitung also denknotwendig, in dem anderen nur wahrscheinlich.
Die logische Theorie der erweiternden Induktion hat die Frage nach dem Prinzip und aus diesem heraus nach der Berechtigung dieser Schlußarten zu beantworten. Als logische Grundsätze des induktiven Schließens (unter dem jedoch hier nur die Induktion im eigentlichen Sinne, also die erweiternde, nicht deren Vorstufe, die verallgemeinernde, verstanden sei) können wir schreiben: 1. Kommt einer Reihe von Arten gleicher Gattung ein Merkmal als Prädikat zu, dann ist es wahrscheinlich, daß dieses Merkmal allen Arten, mithin der ganzen Gattung, als Prädikat zukommt (Prinzip der verallgemeinernden Induktion); 2. kommt einem Begriff eine Reihe von Merkmalen gleichermaßen als Prädikat zu, dann ist es wahrscheinlich, daß ihm der ganze Inhalt, von dem diese Merkmale einen Teil bilden, als Prädikat zukommt (Prinzip der ergänzenden Induktion). Indem wir versuchen, beide Grundsätze zu einem zusammenzufassen, formulieren wir: Wenn etwas für den Teil eines Ganzen als zutreffend erwiesen ist, dann ist es wahrscheinlich, daß ebendasselbe auch für den übrigbleibenden, noch ununtersuchten Teil dieses Ganzen, mithin für das Ganze überhaupt, Gültigkeit haben werde.
Damit erweist sich der Induktionsschluß deutlich als ein Schluß vom Bekannten aufs Unbekannte. Seine Voraussetzung ist die Hypothese einer durchgehenden kausal-bedingten Gleichartigkeit des Universums. In den nicht bekannten Teilen des Wirklichen werden dieselben Ursachen als gegeben angenommen wie in den bekannten und zugleich dem Schlusse die Annahme zugrunde gelegt, daß aus gleichen Ursachen allemal gleiche Wirkungen hervorgehen (Erdmann). Die Berechtigung des Induktionsschlusses wurzelt also zuletzt in der Berechtigung des Kausalitätsprinzips. Leugnet man, daß alles, was geschieht, zureichende Ursachen hat, durch die es geschieht, und daß aus gleichen Ursachen gleiche Wirkungen hervorgehen, dann leugnet man damit zugleich auch die Berechtigung alles induktiven Schließens; und mit dieser wiederum die Berechtigung aller Erfahrungswissenschaften, die aus dem untersuchten Einzelnen allgemeine Gesetze und Regeln über den Ablauf der Veränderungen im Universum überhaupt herleiten.
Sind die Induktionen Schlüsse vom Besonderen aufs Allgemeine, so bilden ihre Schlußsätze im natürlichen Verlauf des Denkens häufig wiederum Obersätze von deduktiven Ableitungen, die von hier aus abermals zum Besonderen herabsteigen. Diese — an sich leicht und überzeugend einleuchtende — Tatsache hat John Stuart Mill zu dem verhängnisvollen Irrtum verleitet, alle syllogistischen Schlüsse (auch die mathematischen, für die die Voraussetzung eines induktiv gewonnenen Obersatzes nicht einmal zutrifft!) als Schlüsse vom Besonderen aufs Besondere zu deuten, wodurch der Unterschied zwischen Deduktion und Induktion — bei Mill selbst wie seinen Anhängern — bisweilen in bedenklicher Weise verwirrt worden ist. Zur kritischen Beurteilung dieses Standpunktes sind die entscheidenden Gesichtspunkte bereits in dem früher Gesagten angedeutet.
Die induktiven Schlüsse bildeten lange ein Stiefkind der Logiker. Weder Aristoteles noch die Logik des 17. und 18. Jahrhunderts sehen in ihnen eine prinzipiell verschiedene Form gegenüber den Deduktionen. Ihre einseitige Betonung des deduktiven Schließens, die gelegentlich so weit geht, alles Schließen seinem Wesen nach in deduktives zu verwandeln, macht sie zu Vertretern jener Richtung, die wir zweckmäßig als „deduktive Logik“ bezeichnen können (Aristotelische Tradition). Erst das 19. Jahrhundert — vornehmlich John Stuart Mill (der übrigens in David Hume darin einen nicht hoch genug zu würdigenden Vorgänger hat) — weiß von einer Analyse der naturwissenschaftlichen Methoden aus den induktiven Schlüssen mehr und mehr gerecht zu werden. Dabei aber fällt man zugleich in das entgegengesetzte Extrem, indem man unter Verkennung der eigentlichen Bedeutung der Deduktion diese geringschätzig in den Hintergrund stellt oder sogar den Versuch macht, alles Schließen seinem Wesen nach aus dem induktiven abzuleiten. Man nennt diese — besonders in der neueren englischen Philosophie vertretene — Richtung daher die „induktive Logik“. Sachlich soll zu diesem Gegensatz nur bemerkt werden, daß eine den tatsächlichen Verhältnissen des Denkens gerecht werdende logische Analyse weder einen einseitig deduktiven noch einen einseitig induktiven Standpunkt vertreten könne. Deduktion und Induktion bilden ihrem Wesen nach charakteristisch verschiedene, ihrem Wert nach gleich bedeutungsvolle Formen des Denkens, deren höchste Vollendung erst in ihrem — in den neueren Naturwissenschaften in klassischer Form vollzogenen — Zusammenwirken gegeben ist. Das System der Logik darf also kein deduktives und kein induktives — es muß vielmehr ein deduktiv-induktives zugleich sein.