Gegenüber solchen und ähnlichen Einwänden tut man gut, auf die Leistungen des deduktiven Schlußverfahrens in den mathematischen sowie den theoretischen Naturwissenschaften hinzuweisen, in denen die Obersätze entweder Definitionen oder Axiome von unmittelbarer Gewißheit oder aber aus solchen abgeleitete mittelbar-gewisse Urteile sind. Vergegenwärtigt man sich, zu welcher Fülle von Einsichten etwa die Geometrie durch syllogistisches Fortschreiten aus wenigen obersten Definitionen und Axiomen gelangt, dann kann von einer Unterschätzung des deduktiven Schließens nicht mehr die Rede sein.
Aber auch in den Tatsachenwissenschaften bilden Deduktionen bedeutsame Mittel der Forschung. Sei es, daß die Ableitung aus einem registrierend allgemeinen Urteil als Obersatz analysierend auf ein darin einbegriffenes Einzelne geht (analysierender Tatsachenschluß), sei es, daß wir aus einem erweiternd allgemeinen Urteil als Obersatz auf ein noch unbekanntes darin einbegriffenes Einzelne schließen und so das induktiv gewonnene Wissen deduktiv ausbeuten (erweiternder Tatsachenschluß): in keiner von beiden Formen ist das deduktive Verfahren als wertloses anzusprechen. Bringt es in dem ersten Falle zwar nur zum Bewußtsein, was in dem registrierend Allgemeinen als Einzelnes enthalten ist, so erweitert es in dem zweiten unsere Erkenntnis sehr wohl, indem es — eine „deduktive Instrumentation unseres induktiven Wissens“ (nach B. Erdmann) — das auf Grund der Erfahrung als allgemeingültig Erkannte auf einen einzelnen dahingehörigen, noch unbekannten Fall überträgt.
5. Die induktiven Schlüsse und die Theorie der Induktion.
Induktive Schlüsse sind solche, in denen aus einer Mehrheit besonderer Urteile ein davon verschiedenes zusammenfassend- oder erweiternd-allgemeines Urteil abgeleitet wird. Sie sind mithin Schlüsse vom Besonderen aufs Allgemeine; ihrer Einteilung nach entweder zusammenfassende oder erweiternde Induktionen.
Das Wesen der zusammenfassenden (auch: registrierenden) Induktionen besteht darin, daß eine beliebig große Anzahl gegebener Urteile mit gleichem Subjekt oder Prädikat im Schlußurteil zu einem Urteil vereinigt wird, wobei die Konklusio in dem einen Fall eine kopulative, im anderen eine konjunktive Urteilsverbindung wird. Demnach können wir ihre Arten als kopulative und konjunktive Zusammenfassungen auseinanderhalten. Als selbständige Schlußweisen haben diese Ableitungen nur untergeordnete Bedeutung, weil ihr Schlußurteil lediglich in formaler Hinsicht von den Prämissen abweicht, dagegen material über den Bestand des in den Prämissen Ausgesagten nicht hinausgeht. Dagegen bilden sie Voraussetzungen der erweiternden Induktionen, als deren logische Vorstufe sie darum bezeichnet werden müssen. — Ihrer — positiven (a) und negativen (b) — Grundform nach lauten sie:
| I. Kopulative Zusammenfassungen: | ||
| a) | b) | |
| S1 ← P | S1 ← nicht P | |
| S2 ← P | S2 ← nicht P | |
| S3 ← P | S3 ← nicht P | |
| . . . | . . . | |
| . . . | . . . | |
| Sn ← P | Sn ← nicht P | |
| [S1, S2, S3, ... und Sn] ← P | [S1, S2, S3, ... und Sn] ← nicht P | |
| II. Konjunktive Zusammenfassungen: | ||
| a) | b) | |
| S ← P1 | S ← nicht P1 | |
| S ← P2 | S ← nicht P2 | |
| S ← P3 | S ← nicht P3 | |
| . . . | . . . | |
| . . . | . . . | |
| S ← Pn | S ← nicht Pn | |
| S ← [P1, P2, P3, ... und Pn] | S ← nicht [P1, P2, P3, ... und Pn] | |
Nicht nur formal, sondern auch material von den Prämissen verschieden ist die Konklusio in den sog. erweiternden Induktionen. Diese sind Schlußweisen, in denen aus den gegebenen besonderen Urteilen nicht ein zusammenfassend-, sondern ein erweiternd-allgemeines Urteil abgeleitet wird; und jenachdem ob diese Erweiterung von einigen Arten einer Gattung auf diese Gattung als Ganzes (Umfangserweiterung) oder von einigen Merkmalen eines Begriffes auf dessen Inhalt überhaupt (Inhaltserweiterung) geht, sind sie zweckmäßig teils als verallgemeinernde, teils als ergänzende Erweiterungen zu bezeichnen. Ordnet man die Arten der induktiven Schlüsse nach alledem in einem übersichtlichen Schema, dann ergibt sich folgende Tafel:
Ihrer einfachsten Form nach — mit einmal bejahenden (a), einmal verneinenden Prämissen (b) — lauten die verallgemeinernden (I) und ergänzenden Erweiterungen (II):