und da für alle so entstehenden Dreiecke die entsprechenden Stücke kA konstante Längen haben, so sind die CA entsprechenden Stücke proportional zu tg α. Man trägt die Stücke CA von A aus auf kA ab (C1A = CA) und erhält so eine Kurve (1), die den Verlauf von tg α wiedergibt. Die Maxima, Minima dieser Kurve und, für den erwähnten dritten Fall einer sattelförmigen Berührung, die Wendepunkte mit einer zu g parallelen Tangente geben diejenigen Werte von kA · tg α, zu denen eine einer Berührungsebene zukommende Streichlinie der Hilfsfläche gehört. Um sie zu zeichnen, hat man nur durch einen solchen Punkt M1 der Kurve eine Senkrechte kmM1D zu g, g' zu ziehen, DE = DM1 zu machen, dann ist kmE die gesuchte Streichlinie; sie schneidet die Berührungskurve hh im Berührungspunkte B der gesuchten Berührungsebene, deren Gefällemaßstab danach leicht herzustellen ist. Dieselbe Konstruktion ist bei dem Wendepunkt W1 ausgeführt: man zieht kwW1G senkrecht zu g, g', macht GH = GW1 und zieht kwH, die Streichlinie der gesuchten berührenden Ebene, wodurch zugleich deren Berührungspunkt W als Schnitt mit der Kurve hh erhalten wird. Die Genauigkeit der Konstruktion kann noch leicht verbessert werden, wenn man die symmetrische Kurve (2) zeichnet; man macht C2A = CA usw.
Übrigens ist noch eine dritte Kontrolle für die gesuchten Berührungspunkte dadurch gegeben, daß die Berührungskurve hh der Hilfsfläche und die Berührungskurven b der umschriebenen Zylinder ([§ 80]) sich in den gesuchten Punkten B* und W schneiden müssen.
§ 84. Schattengrenze. Wenn die als parallel anzunehmenden Sonnenstrahlen ein hügeliges Gelände in einer gegebenen Richtung bescheinen, so liegt ein Teil des Geländes im Schatten. Die Grenze dieses Schattens ist die Schnittkurve der Geländefläche mit dem Zylinder, der ihr in der Richtung der Strahlen von oben umschrieben werden kann. Nachdem man diesen Zylinder nach [§ 80] oder [82] bestimmt hat, wozu eine Schichtlinie und zwei gestufte Mantelgeraden genügen, findet man die gesuchte Schnittkurve mit dem Gelände nach [§ 77], am einfachsten nach dem Verfahren des verschiebbaren Musters. Der Leser führe die Konstruktion an der [Fig. 82] aus: mindestens zwei der Mantelgeraden 1 bis 4 sind zu stufen, indem von der Schichtlinie s = 110 des oberen Zylinders das Intervall von g wiederholt abgetragen wird; von der genannten Schichtlinie ist auf steifem Papier ein Muster zu verfertigen, dieses von Stufe zu Stufe der Mantelgeraden zu verschieben, die Schnittpunkte mit den gleichkotierten Schichtlinien des Geländes sind aufzusuchen und diese Punkte durch eine glatte Kurve zu verbinden. Die Schattengrenze wird hier im unteren Teile der [Fig. 82] gelegen sein.
§ 85. Von einem gegebenen Punkte an eine Geländefläche den Berührungskegel zu zeichnen. Scheinbarer Umriß, Horizont. Eine Lösung dieser Aufgabe liegt auf der Hand: man führt durch den im Raume gegebenen Punkt A' genügend viele Vertikalschnitte, zeichnet die zugehörigen Profile der Fläche und legt an diese von A' aus Tangenten; die Berührungspunkte, in die Karte übertragen, ergeben die gesuchte Berührungskurve. Zweckmäßig nimmt man die Profile, die in der Karte durch die Tangenten von A, der Projektion von A', an die Schichtlinien der Fläche bestimmt sind, weil man an ihnen am leichtesten verfolgen kann, wie weit es nötig ist, die Profile wirklich zu zeichnen. Aber dieses Verfahren ist aus denselben Gründen, wie sie oben beim umschriebenen Zylinder ([§ 82]) angegeben wurden, praktisch wenig bequem und von geringer Genauigkeit. Folgender Weg ist bequemer, oft auch genauer. Er beruht auf einer Überlegung, die eine Erweiterung der in [§ 82] angegebenen darstellt.
Fig. 84.
Es sei A' (Höhe 45) der gegebene Punkt des Raumes, A seine Projektion und AC eine gegebene Richtung in der Karte. Man kann die Aufgabe, von A' aus eine Tangente mit der Projektion AC an die gegebene Geländefläche zu legen, in der üblichen Weise durch Zeichnung des Profils in der Richtung AC lösen.[2] Man denke sich nun in der Karte durch A eine beliebige Gerade g gelegt und ihre Punkte mit den gleichkotierten des Profils geradlinig verbunden. Diese Geraden sind die Schichtlinien einer geradlinigen Fläche, und jede von ihnen kann als Streichlinie einer durch g hindurchgehenden Ebene aufgefaßt werden. Wie in [§ 82] wird jede dieser Ebenen bestimmt durch den Winkel α, den ihre Streichlinien mit denen der Ebene bilden, auf der g eine Fallinie ist. Diejenigen der genannten Ebenen, die durch die Tangenten hindurchgehen, die man von A' aus in der Profilebene A'AC an die Fläche legen kann, liegen im allgemeinen höher oder tiefer als die benachbarten unter ihnen; der Winkel α ist also für sie größer oder kleiner als für die benachbarten. Man kann also jene Ebenen und damit die Berührungspunkte B der Tangenten finden, indem man für α die größten oder kleinsten Werte aufsucht, wozu man sich des in [§ 83] angegebenen Verfahrens der Hilfskurve bedienen kann ([Fig. 84]).
[2] Beim Umklappen des Profils in die Zeichenebene möge A' in den durch den kleinen Kreis und die beigeschriebene Kote 45 bezeichneten Punkt übergehen.
Will man nun von A' aus den Berührungskegel an die gegebene Fläche legen, so wird man durch A eine Schar von Geraden AC ziehen und nach dem eben beschriebenen Verfahren die Berührungspunkte B der von A aus zu ziehenden Tangenten bestimmen. Dabei kann man sich beständig derselben Hilfsgeraden g bedienen. Einschaltung von Schichtlinien in der Nähe von B erhöht die sonst nicht große Zeichengenauigkeit.