Die abgeschnittenen Kappen können oft mit genügender Annäherung als Parabelabschnitte aufgefaßt und alsdann nach der Lambertschen Regel zu ⅔aα und ⅔bβ berechnet werden, wobei α und β ihre Breiten bedeuten (Joh. Heinr. Lambert 1727–1777).
§ 92. c) Andere Streifeneinteilung. Statt daß man das Flächenstück in gleich breite Streifen zerlegt, kann man oft einfacher und nicht minder genau als nach der Simpsonschen Regel nach folgendem von C. Runge angegebenen zeichnerischen Ausgleichungsverfahren vorgehen. Man ersetzt das Stück der Begrenzungslinie zwischen den beiden Geraden des Streifens durch eine senkrecht zu ihnen verlaufende gerade Strecke der Art, daß die in der [Fig. 89] mit Schraffen versehenen dreieckigen Zipfel einander flächengleich werden. Wenn es sich um genügend kleine Dreiecke handelt, kann die Abgleichung nach dem Augenmaß sehr genau ausgeführt werden, und wenn vollends die Figur auf Millimeterpapier gezeichnet ist, hat man durch Auszählung und Abschätzung der wenigen in den Zipfeln befindlichen Quadratmillimeter eine gute Prüfung. Man verwandelt auf diese sehr empfehlenswerte Art das krummlinig begrenzte Flächenstück in eine Summe von Rechtecken, deren Breite man oft, wenn die Kurve weniger gekrümmt verläuft, ziemlich groß annehmen kann. Danach läßt sich der Inhalt leicht berechnen:
F ≈ ∑δy.
Fig. 89.
Fig. 90.
§ 93. d) Planimeter. Am schnellsten und auch wohl am genauesten bedient man sich zur Flächenmessung eines Planimeters, wie es in seiner einfachsten Form des Polarplanimeters in [Fig. 90] angedeutet ist. PD ist eine um den Nadelspitzpol P drehbare Stange beliebiger Länge, so daß also D einen Kreis beschreibt; DF ist eine in D drehbare Stange der Länge l, deren Fahrstift F die Berandung des auszumessenden Flächenstückes einmal umfährt; R ist ein auf der Zeichenebene rollendes, nicht gleitendes Rad vom Radius r, dessen Winkeldrehung ω an einer Teilung abgelesen werden kann. Man zeigt mit Hilfe der Integralrechnung, daß, wenn der Pol P außerhalb der zu umfahrenden Fläche liegt, der gesuchte Flächeninhalt gleich l · ωr ist; meist gibt die Teilung der Meßrolle dieses Produkt unmittelbar an.
§ 94. Geneigte Fläche. Wenn die Ebene der auszumessenden ebenen Fläche unter dem Winkel α gegen die Horizontalebene der Karte geneigt ist, so ergibt sich der wahre Flächeninhalt aus dem seiner Projektion, indem man diese durch cos α dividiert. Das sieht man sogleich ein, wenn man sich die Fläche und ihre Projektion durch Ebenen, die auf der Schnittgeraden der Fläche und der Projektionsebene senkrecht stehen, in genügend schmale Streifen der Breite δ zerlegt denkt. Die mittleren Längen des Streifens und seiner Projektion verhalten sich wie 1 : cos α, daher, da die Breite dieselbe ist, auch ihre Flächeninhalte, daher auch die Flächen selbst.
Diese Bemerkung kann man bisweilen benutzen, um praktisch von einem begrenzten Teile einer Geländefläche den Flächeninhalt zu bestimmen, nämlich dann, wenn sie sich in Bezirke teilen läßt, innerhalb deren die Horizontalneigung genügend konstant ist, was sich übrigens sehr leicht am Verlauf der Fallinien erkennen läßt.