Darstellende Geometrie des Geländes / und verwandte Anwendungen der Methode der kotierten Projektionen - Rudolf Rothe

Fig. 91.

§ 95. Flächeninhalt einer Böschungsfläche. Wie in [§ 65] gezeigt, ist jede Böschungsfläche auf eine Ebene abwickelbar, und zwar so, daß nach und nach jede ihrer geradlinigen Fallinien in die Ebene zu liegen kommt. Da bei der Abwickelung außer den Längen die Winkel zwischen den Kurven der Böschungsfläche sich nicht ändern, so gehen die Schichtlinien in Kurven über, die auf den geradlinigen Fallinien auch nach der Abwickelung senkrecht stehen. Man betrachte nun einen von zwei beliebigen Schichtlinien und zwei geradlinigen Fallinien begrenzten Streifen einer Böschungsfläche. Sein Flächeninhalt bleibt bei der Abwickelung in die Zeichenebene, wodurch die Figur ACDB ([Fig. 91]) entstehen möge, ebenfalls ungeändert. Es seien MP, NQ die Abwickelungen zweier naher Fallinien von der Länge l; sie schneiden das Flächenstück MPQN aus, das um so mehr als Trapez betrachtet werden kann, je näher MP und NQ aneinander liegen. Ist RS die Mittellinie des Trapezes, m ihre Länge, so ist seine Fläche gleich l · m; demnach der Flächeninhalt des ganzen Stückes ABCD gleich l · ∑m, wo ∑m nichts anderes als die Bogenlänge der mittleren Schichtlinie EF ist. Man findet daher den Flächeninhalt einer von zwei Schichtlinien und zwei Fallinien der wahren Länge l begrenzten Böschungsfläche, indem man l mit der Bogenlänge der mittleren Schichtlinie multipliziert.

Die Ausführung kann unmittelbar an der Karte der Böschungsfläche vorgenommen werden, da ja bei jeder Fläche die Schichtlinien mit ihren Projektionen kongruent sind. Übrigens braucht man die erwähnte mittlere Schichtlinie nicht erst zu konstruieren, sondern nimmt einfacher und genauer aus den Bogenlängen der begrenzenden Schichtlinien das arithmetische Mittel. Sind λ die aus der Karte zu entnehmende konstante Horizontalentfernung der beiden Schichtlinien, k₁ und k₂ ihre Höhenzahlen, so ist l = √λ² + (k₁ – k₂)², also als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten λ und (k₁ – k₂), diese in Einheiten des Höhenmaßstabes gemessen, leicht zu zeichnen.

Da man nach [§ 66] eine Geländefläche, die durch genügend viele Schichtlinien gegeben ist, gleich der erachten kann, die aus schmalen Streifen von Böschungsflächen zusammengesetzt ist, so läßt sich das eben auseinandergesetzte Verfahren auch benutzen, um angenähert die Inhalte beliebiger gekrümmter Flächenstücke zu bestimmen. Eine große Genauigkeit wird man freilich nicht zu erwarten haben.

§ 96. Rauminhalt eines begrenzten Geländeteiles. Es ist eine wichtige Aufgabe der technischen Praxis, den Rauminhalt von Erdmassen zu bestimmen. Wenn die Begrenzung ganz willkürlich ist, muß man sich wie beim Flächeninhalt gewisser Annäherungsmethoden bedienen, deren Berechtigung und Genauigkeit in der Integralrechnung gezeigt wird. Man denkt sich den auszumessenden Körper in eine Anzahl so dünner Schichten zerlegt, daß sie ohne merklichen Fehler als zylindrische Scheiben betrachtet werden können, deren Inhalt gleich dem Produkt aus ihrer Dicke δ und ihrem Querschnitt q ist. Haben alle Schichten des Körpers die gleiche Dicke δ, so ist das Volumen des Körpers v = δ · ∑q, wo ∑q die Summe aller Querschnitte bedeutet. Die gewöhnliche Zerlegung ist die in wagerechte Schichten. Die Querschnitte werden also durch die Schichtlinien der Fläche begrenzt. Man kann jeden Querschnitt nach irgendeinem der in [§§ 90] bis [93] angegebenen Verfahren bestimmen. Aber auch v selber kann man nach denselben Verfahren ermitteln. Denn trägt man die gemessenen Werte der Querschnitte als Ordinaten zu den zugehörigen Höhenzahlen als Abszissen auf und verbindet ihre Endpunkte durch eine glatte Kurve, so ist die Maßzahl des Flächeninhalts, der von dieser Kurve, der Abszissenachse und den Anfangs- und Endordinaten begrenzt wird, gleich v.

§ 97. Aufgabe: Rauminhalt einer Lagerstätte. Zur Erläuterung der in den letzten Paragraphen besprochenen Maßbestimmungen soll jetzt eine dem bergmännischen Anwendungsgebiet entnommene Aufgabe etwas ausführlicher besprochen werden.

Eine nutzbare unterirdische Lagerstätte wird in der Regel durch eine Anzahl von Bohrlöchern erschlossen, die erkennen lassen, wie weit sich die Lagerstätte in wagerechter und lotrechter Richtung erstreckt. Da mit Rücksicht auf die Kosten die Zahl solcher Bohrlöcher auf das Mindestmaß beschränkt werden muß, wird aus den Bohrergebnissen die Gestalt der Lagerstätte nur in groben Umrissen entnommen werden können, und daher werden alle darauf bezüglichen Konstruktionen und Maßbestimmungen nur als erste Annäherungen an die Wirklichkeit zu betrachten sein; das ist auch bei der Lösung der folgenden Aufgabe nicht zu vergessen.

Ein Kohlenlager ist durch eine Reihe von Bohrlöchern angefahren und durchteuft. Man soll den Rauminhalt des Lagers ermitteln.

Zunächst einige allgemeine Bemerkungen zur Ausführung der Aufgabe. Man wird vor allem die beiden topographischen Flächen zu bestimmen suchen, die den oberen Teil (das Hangende) und den unteren (das Liegende) der Lagerstätte begrenzen, indem man nach [§ 48] die Schichtlinien durch Längenprofile ermittelt. Das geschieht am besten in einer besonderen Karte, nachdem man darin die Lage der Bohrlöcher übertragen und die Tiefenangaben vermerkt hat, in denen jedesmal die Lagerstätte angebohrt und durchteuft wurde. Nunmehr bestimmt man die Schichtenquerschnitte nach [§ 90] bis [93], trägt die Werte graphisch zu den Höhenzahlen als Ordinaten auf, und planimetriert zur Bestimmung des Rauminhalts die entstehende Kurve, wie in [§ 96] angegeben.