§ 104. Netzteilung. Für viele Zwecke der zeichnerischen Analysis ist es wichtig, eine Kurve (K), die in einem Koordinatensystem (x, y) gezeichnet vorliegt, in eine andere (κ) zu verwandeln, die sich auf ein Koordinatensystem (ξ, η) bezieht, wobei ξ = φ(x), η = ψ(y) gegebene funktionale Beziehungen zwischen x und ξ, y und η bedeuten sollen. Wäre die Gleichung der vorgelegten Kurve (K) bekannt, etwa F(x, y) = 0, und wären auch die Funktionen φ(x) und ψ(y) in analytischer Form gegeben, so würde man nur ξ, η an Stelle von x, y einzuführen zu haben, um die Gleichung Φ(ξ, η) = 0 der verwandelten Kurve (κ) zu erhalten. Aber hier handelt es sich darum, zeichnerisch die Aufgabe zu lösen, wenn die Kurve (K) und die Funktionen φ(x) und ψ(y) graphisch gegeben sind.
Man trägt auf einer ξ-Achse die Skale ξ = φ(x) auf und ebenso auf einer η-Achse die Skale η = ψ(y), wodurch ein im allgemeinen ungleichmäßig geteiltes Netz bestimmt ist, wie die [Fig. 103] angibt. Jedem Koordinatenpaar x, y entspricht in diesem Netze ein Punkt, der entweder auf einen Schnittpunkt der Netzgeraden fällt, oder dessen Lage durch Schätzung leicht zu ermitteln ist. Auf diese Weise kann man die gegebene Kurve (K) Punkt für Punkt in dieses Netz übertragen und erhält so die verwandelte Kurve (κ).
Fig. 102.
Beispielsweise geht die Ellipse mit den Halbachsen a und b, deren Hauptachsenrichtungen mit den Koordinatenachsen x, y und deren Mittelpunkt mit dem Ursprung zusammenfällt, deren Gleichung also
x²/a² + y²/b² = 1
lautet, durch Umzeichnung in ein Netz mit den Skalen ξ = x², η = y² in die Gerade mit der Gleichung
η/a² + ξ/b² = 1
über, die die Skalen in den Teilstrichen a² und b² trifft und also leicht zu zeichnen ist. Das wurde auch für schiefwinklige Achsen gelten, wenn a, b dann konjugierte Halbmesser bedeuten.
Man kann von dieser Bemerkung eine Anwendung auf folgende Aufgabe der praktischen Mathematik machen. Es liegt eine eiförmige Kurve gezeichnet vor, und es besteht die Vermutung, daß sie angenähert eine Ellipse sei; wie ist das festzustellen? Man wird zunächst angenähert den Mittelpunkt und zwei konjugierte Durchmesser der Kurve bestimmen, indem man ein ihr umschriebenes Parallelogramm mit seinen Mittellinien zeichnet. Dadurch ist zugleich ein schiefwinkliges Koordinatensystem x, y gegeben, durch das die Punkte der Kurve festgelegt werden können. Man zeichnet jetzt das ungleichmäßig geteilte Netz ξ = x², η = y², und in dieses trägt man genügend viele Punkte der eiförmigen Kurve ein; sie werden, den vier Quadranten der Kurve entsprechend, angenähert auf vier Seiten eines Parallelogramms liegen. Die Abweichung der Punkte von diesen Geraden läßt auch die Abweichung der Eilinie von der Ellipse erkennen. Wenn man über die Punkte, die angenähert auf einer Geraden liegen, einen Faden spannt oder eine auf einen Film geritzte Gerade legt, kann man in den meisten Fällen genau genug die Abweichungen ausgleichen und dadurch die Längen für die konjugierten Halbmesser der Ellipse bestimmen, die die Eilinie am besten darstellt ([Fig. 103]).