Die hauptsächlichen Fehler der Einteilung sind folgende:
1. Die Einteilung ist zu weit, wenn sie zu viel, zu eng, wenn sie zu wenig Einteilungsglieder enthält. Zu weit ist z. B. die Einteilung der Dreiecke in rechtwinklige, schiefwinklige und gleichwinklige.
2. Die Glieder der Einteilung müssen einander ausschließen, dürfen sich nicht kreuzen, z. B. die Einteilung der Neigungen in Selbstliebe, Neigung zu andern und gegenseitige Neigung.
3. Es dürfen nicht verschiedene Einteilungsgründe vermischt werden, sonst wird die Einteilung verworren, z. B. die der Menschen in Europäer und Schwarze.
3. Der Beweis.
§ 68. Der Beweis und seine Arten.
In einem System der Wissenschaft müssen die Begriffe durch Erklärungen und Einteilungen ihrem Inhalt und Umfang nach genau bestimmt sein. Diese Begriffe kommen aber nur zustande durch Urteile, welche ihnen gewisse Prädikate zu- oder absprechen, und diese Urteile selbst bedürfen der Begründung, um gültig zu sein. Dies geschieht, indem einzelne Schlüsse zum Beweis verbunden werden und so jedes einzelne Urteil durch seinen Zusammenhang mit andern bereits feststehenden in das System der Wissenschaft aufgenommen wird.
Der Beweis ist also die syllogistische Ableitung eines Urteils aus anderen Urteilen, die als gewiß und notwendig erkannt sind. Doch bedürfen auch diese eigentlich wieder des Beweises und so führt genau genommen jeder Beweis zu gewissen Sätzen zurück, die einer Begründung weder fähig, noch bedürftig sind, zu den Grundsätzen oder Axiomen. Vom einzelnen Schluß unterscheidet sich der Beweis dadurch, daß das zu beweisende Urteil im voraus bekannt ist und die Veranlassung zum Beweis bildet, und daß auch auf die materiale Wahrheit der Prämissen Rücksicht genommen wird. Außerdem stellt der Beweis gewöhnlich eine ganze Schlußkette dar.
Der Beweis ist ein direkter, wenn er die Wahrheit eines Satzes einfach durch kategorischen oder hypothetischen Schluß aus feststehenden Prämissen ableitet, ein indirekter oder apagogischer, wenn der zu beweisende Satz aus einem disjunktiven Urteil durch Aufhebung der übrigen Disjunktionsglieder gewonnen wird. Ein direkter Beweis ist es z. B., wenn daraus, daß die Summe zweier Winkel eines Dreiecks gleich einem Rechten ist, bewiesen wird, daß der dritte Winkel ein Rechter sein muß; ein indirekter Beweis wäre es, wenn von der Disjunktion ausgegangen würde: Entweder ist er ein stumpfer oder ein spitzer oder ein rechter Winkel, und aus der Ungültigkeit der beiden ersten Glieder die Gültigkeit des letzten gefolgert würde.
Die Widerlegung (refutatio) ist der Beweis der Unrichtigkeit eines Satzes oder eines Beweises. Die Unrichtigkeit eines Satzes folgt daraus, daß er selbst oder eine seiner Konsequenzen (deductio ad absurdum) einem wahren Satze widerstreitet. Die Unrichtigkeit wird also bewiesen durch den Beweis des kontradiktorischen Gegenteils. Die Widerlegung eines Beweises geschieht durch Entkräftung der Beweisgründe. Zur gründlichen Widerlegung einer entgegenstehenden Ansicht gehört aber sowohl der Beweis der eigenen Ansicht, als die Widerlegung des gegnerischen Beweises.