Aufgabe:
162. Bei einem dreifach zusammengesetzten Hebel gibt der erste Hebel einen 5 fachen, der zweite einen 6 fachen, der dritte einen 21⁄2 fachen Kraftgewinn. Welche Last kann durch eine Kraft von 12 kg gehoben werden?
248. Das zusammengesetzte Räderwerk.
Wie beim einfachen Hebel ist auch beim Wellrad der Kraftgewinn in der Anwendung meist nur bescheiden, 2 bis 5 fach, da man weder die Kurbel zu lang, noch die Welle zu dünn machen darf. Für größeren Kraftgewinn benützt man das zusammengesetzte Räderwerk, das nach Einrichtung und Wirksamkeit mit dem zusammengesetzten Hebel verwandt ist.
Fig. 326.
Dreifach zusammengesetztes Räderwerk ([Fig. 326]): das erste Wellrad besteht aus der Welle (r), an der die Last Q angreift (etwa an einem Seil hängend, Seiltrommel), und einem Rade (R); dies Rad ist gezahnt. Das zweite Wellrad besteht aus einer gezahnten Welle (r′), deren Zähne in die des ersten Rades (R) eingreifen und einem gezahnten Rade (R′). Das dritte Wellrad besteht aus der gezahnten Welle (r′′), deren Zähne in die des Rades (R′) eingreifen, und der Kurbel R′′, an der die Kraft P wirkt. Wir können das zusammengesetzte Räderwerk als zusammengesetzten Hebel betrachten. Die Mittelpunkte der Wellräder sind die Drehpunkte, die Radien der Wellen (r, r′, r′′) sind die Lastarme, die Radien der Räder (R, R′ und die Kurbel R′′) sind die Kraftarme der Hebel, zwei Zähne, die sich eben berühren, sind die Enden der Hebel, die aufeinander drücken. Nach dem Gesetz vom zusammengesetzten Hebel folgt:
Das zusammengesetzte Räderwerk ist im Gleichgewichte, wenn P : Q = r r′ r′′ : R R′ R′′; der Kraftgewinn ist Q P = R R′ R′′ r r′ r′′. Diesen Ausdruck für den Kraftgewinn kann man in bequemere Form bringen; es ist:
Q P = R R′ R′′ r r′ r′′ = 2 R π · 2 R′ π · R′′ r · 2 r′ π · 2 r′′ π = U U′ R′′r u′ u′′
wobei mit U, U′, u′, u′′ die Umfänge der entsprechenden Räder und gezahnten Wellen bezeichnet sind. Greift man aus diesem Bruche das Verhältnis U : u′ heraus, so sind auf U und u′ Zähne, welche ineinander greifen sollen, also gleich weit voneinander abstehen müssen; folglich müssen sich ihre Zahnzahlen Z und z′ wie die Umfänge verhalten, also U u′ = Z z′; ebenso U′ u′′ = Z′ z′′; beides oben eingesetzt gibt: Q P = Z Z′ R′′ r z′ z′′. Diese Form für den Kraftgewinn entspricht der zuerst aufgestellten, nur sind statt der Radien derjenigen Räder und Wellen, die gezahnt sind, die Zahnzahlen eingesetzt. Es ist dadurch an einer fertigen Maschine leicht, den Kraftgewinn zu bestimmen. Eine gezahnte Welle wird auch Trieb genannt, und zwar Vierertrieb, Sechser-, Achter-, Zwölfertrieb u. s. w., wenn sie 4, 6, 8, 12, . . . Zähne hat.