179. Welche Geschwindigkeit hat ein Körper, der in 1 Std. 37 Min. 28,6 km zurücklegt?

180. Welchen Weg legt ein Dampfer bei 11 Knoten Geschwindigkeit in 3 Tg. 6 Std. zurück? (Ein Knoten = 1⁄60 engl. Seemeile in 1 Min.)

262. Der freie Fall.

Nach dem Trägheitsgesetz verharrt jeder Körper in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange nicht eine Kraft auf ihn wirkt. Wirkt eine Kraft auf ihn, so ändert sie den Bewegungszustand, indem sie die Bewegung langsamer oder rascher macht, oder auch deren Richtung ändert. Die einfachste Art einer solchen Wirkung ist die einer konstanten, d. h. der Größe oder Intensität nach gleichbleibenden Kraft. Wir wählen dazu als Beispiel die Schwerkraft, die ja innerhalb der gewöhnlich vorkommenden Grenzen als konstant angenommen werden darf.

Ist der Körper anfangs in Ruhe, so erteilt ihm die Schwerkraft eine Bewegung, und zwar erhält er im Laufe einer Sekunde eine Geschwindigkeit von ca. 10 m; d. h. wenn am Ende der ersten Sekunde die Schwerkraft aufhören würde zu wirken, und der Körper bloß dem Beharrungsvermögen folgen würde, so würde er in jeder folgenden Sekunde einen Weg von 10 m zurücklegen.

In der zweiten Sekunde behält er die erlangte Geschwindigkeit von 10 m bei und bekommt durch die Schwerkraft, welche während der zweiten Sekunde ebenso wirkt wie in der ersten, noch eine Geschwindigkeit von 10 m dazu, so daß er am Ende der zweiten Sekunde eine Geschwindigkeit von 20 m hat. Während der dritten Sekunde behält er die Geschwindigkeit von 20 m bei und bekommt wieder eine Geschwindigkeit von 10 m dazu, so daß er am Ende der dritten Sekunde eine Geschwindigkeit von 30 m hat. So geht es fort; nach n Sekunden ist seine Geschwindigkeit = n · 10 m. Der Betrag von 10 m ist nicht genau, sondern ist in Wirklichkeit 9,809 m; er wird mit g bezeichnet und heißt die Beschleunigung der Schwerkraft. Da eine konstante Kraft in jeder Sekunde dieselbe Beschleunigung hervorbringt, so verursacht sie eine gleichförmig beschleunigte Bewegung; der freie Fall eines schweren Körpers ist eine solche. Bezeichnen wir die Sekundenzahl mit t, und die in dieser Zeit erlangte Geschwindigkeit mit v, so ist

v = g t (I).

Wir betrachten nun die Wege, die der Körper in den einzelnen Sekunden zurücklegt. Am Anfang der ersten Sekunde hat der Körper noch keine Geschwindigkeit, am Ende der ersten Sekunde hat er eine Geschwindigkeit = 10 m; da seine Geschwindigkeit hiebei gleichmäßig von 0 bis 10 m wächst, so kommt er dabei ebensoweit, wie wenn er sich mit der mittleren Geschwindigkeit von 5 m bewegt hätte. Dies bestätigt der Versuch. In der zweiten Sekunde hat er am Anfang 10 m, am Ende 20 m Geschwindigkeit; man fand, daß der Weg in der zweiten Sekunde 15 m, gleich dem Mittel aus beiden Geschwindigkeiten ist. Ebenso hat er in der dritten Sekunde am Anfang 20 m, am Ende 30 m Geschwindigkeit; der Weg in der dritten Sekunde beträgt 25 m; so geht es fort, der Weg in der vierten Sekunde ist 35 m etc. Man fand also: Die Wege, welche der Körper in den einzelnen Sekunden zurücklegt, bilden eine arithmetische Reihe, deren Anfangsglied a = 5 m, genauer = 1⁄2 g ist, und von denen jedes folgende Glied um 10 m, genauer um g, größer ist als das vorhergehende; also die Differenz aufeinanderfolgender Glieder d = 10 m, genauer = g.

Um die Höhe zu berechnen, die der Körper in t Sekunden durchfällt, so kann man als das einfachste schließen, daß der Körper ebensoweit kommt, wie wenn er t Sekunden lang sich mit der mittleren Geschwindigkeit 0 + g t 2 = g t 2 bewegt hätte, daß also sein Weg s = 1⁄2 g t2 ist. Dasselbe findet man auch, wenn man die Wege der einzelnen Sekunden addiert, also die Summe dieser arithmetischen Reihe bildet; dies geschieht nach der Formel s = n a + n · (n - 1) d 2, wobei n = t, a = g 2, d = g zu setzen ist; also ist:

s = t · g2 + t (t - 1) g2 = t g2 + t2 g 2 - t g2