s = g t2 2(II).

263. Beweis der Fallgesetze.

Diese zwei Formeln

v = g t (I), s = g t2 2 (II)

Fig. 351.

enthalten die Fallgesetze und wir betrachten jetzt, wie sie ihr berühmter Entdecker Galilei gefunden und bewiesen hat. Der schiefe Turm zu Pisa gab ihm Gelegenheit, zu untersuchen, von welcher Höhe er eine Bleikugel fallen lassen müsse, damit sie nach einer oder nach zwei oder nach drei Sekunden zu Boden fällt, und er fand, daß die Höhe bei zwei Sekunden 4 mal, bei drei Sekunden 9 mal so groß sein muß wie bei einer Sekunde: die Fallhöhen verhalten sich wie die Quadrate der Zeiten (II). Hieraus das Fallgesetz ahnend, untersuchte er es durch den Fall auf der schiefen Ebene: Er nahm eine lange Holzrinne, mit glattem Pergament ausgekleidet, neigte sie etwas (schiefe Ebene) und ließ Elfenbeinkugeln herabrollen. Hiebei ist die Masse der Kugel dieselbe wie beim freien Falle, aber während beim freien Falle die ganze Schwerkraft auf die Masse bewegend wirkt, wirkt auf der schiefen Ebene bloß die parallel der schiefen Ebene wirkende Komponente P = Q · sin α bewegend. Diese ist aber kleiner (sin α mal größer), deshalb bringt diese Kraft auch eine kleinere Beschleunigung hervor (eine sin α mal größere Beschleunigung). Die Bewegung ist also auch eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, nur statt g steht überall g · sin α; so fand Galilei, daß stets der Weg s ausdrückbar war durch s = g · sin α · t22, wie er auch die Neigung α, die Zeit t oder den Weg s veränderte. So fand und bewies Galilei nicht bloß das Gesetz vom freien Falle, sondern auch das vom Falle auf der schiefen Ebene; bei letzterer ist also die Beschleunigung = g sin α, demnach v = g t · sin α, und s = 1⁄2 g t2 · sin α.

Die Atwoodsche Fallmaschine (1784) besteht aus einer vertikalen Säule, auf welcher oben eine sehr leicht drehbare leichte Rolle angebracht ist; um sie ist ein Faden gelegt, an dessen Enden cylindrische Gewichte von etwa je 200 g hängen; diese halten sich das Gleichgewicht. Legt man auf ein Gewicht ein Übergewicht etwa von 10 g, so sinkt dieses, während das andere steigt; aber diese Bewegung ist sehr langsam. Würde man nämlich das Übergewicht, 10 g, frei fallen lassen, so würde die Kraft von 10 g dazu verwendet werden, um eine Mass von 10 g in Bewegung zu setzen, das gäbe die Beschleunigung g = 10 m. Liegen aber die 10 g Übergewicht auf dem einen Gewichte, so wird nun die Kraft von 10 g dazu verwendet, um die Masse von 410 g in Bewegung zu setzen, also eine 41 mal größere Masse; deshalb bekommt diese 41 mal größere Masse auch nur eine 41 mal kleinere Beschleunigung, g′ = 10⁄41 m, macht also eine verhältnismäßig langsame Bewegung. Man bringt ein passendes Übergewicht an und untersucht, ob die Fallräume dem Gesetz entsprechen; man macht mehrere Versuche mit verschiedenen Übergewichten, wohl auch mit verschiedenen Massen, und findet, daß auch diese Bewegungen dem Gesetz entsprechen.

Mit diesem Apparat kann man auch die Richtigkeit des ersten Gesetzes v = g t beweisen durch Messung der Endgeschwindigkeiten. Man gibt dem Übergewichte die Form eines Stäbchens, das horizontal auf das Gewicht gelegt wird, so daß seine Enden herausragen; man beobachtet dann, wie weit das Gewicht in einer Sekunde heruntersinkt, und bringt an dieser Stelle einen Ring an, der das Gewicht durchgehen läßt, das herausragende Übergewicht aber auffängt. Die Gewichte bewegen sich dann mit der ihnen eigentümlichen Geschwindigkeit weiter, ohne daß die Schwerkraft an ihnen beschleunigend wirkt, sie legen also in den folgenden Sekunden Räume zurück, die der Endgeschwindigkeit der ersten Sekunde entsprechen. Man mißt diese Räume und findet so das Gesetz der Endgeschwindigkeit bestätigt. Wenn etwa das Gewicht in der ersten Sekunde 12 cm zurücklegt (s1 = 1⁄2 · 24 · 12), so findet man, daß es, vom Übergewichte befreit, in jeder folgenden Sekunde 24 cm zurücklegt (v1 = 24 · 1). Hat es in den ersten zwei Sekunden 48 cm zurückgelegt (s2 = 24 · 22) so findet man, daß es, vom Übergewichte befreit, in jeder folgenden Sekunde 48 cm zurücklegt (v2 = 24 · 2) u. s. f.