5.

  1. z. B. (zum Beispiel): for example.
  2. [1]
  3. die ... Linien; see [1 Note 10].
  4. [2]
  5. einerlei Seite: one and the same side.
  6. [3]
  7. kongruent: equal in every respect.
  8. [4]
  9. betragen; see [3 Note 5].
  10. [5]
  11. Es is merely introductory; the subject is Seiten.
  12. [6]
  13. man stecke ... ab: lay off; lit. let one lay off.
  14. [7]
  15. also; see [2 Note 2].
  16. [8]
  17. alsdann = dann: then.
  18. [9]
  19. daran stossenden (Seite): side adjacent to it.
  20. [10]

6.

  1. eine ... Figur; see [1 Note 10].
  2. [1]
  3. die ... senkrechte; see [1 Note 10].
  4. [2]
  5. die Sehne: chord.
  6. [3]
  7. dazu gehörigen: belonging to it.
  8. [4]
  9. ganz beliebig ... gegebene Punkte: points given entirely at pleasure = any given points whatever.
  10. [5]
  11. der Centriwinkel: angle at the centre.
  12. [6]
  13. der Peripheriewinkel: angle at the cirumference.
  14. [7]
  15. inhaltsgleich equal in area; der Inhalt: contents.
  16. [8]
  17. die Kathete: leg of a right-angled triangle.
  18. [9]
  19. Sei CAB ein ... Dreieck: let CAB be a triangle.
  20. [10]
  21. der ... Quadrate; see [1 Note 10].
  22. [11]
  23. es lässt sich zeigen: it allowes itself to be shown = it may be shown. A common use of lassen.
  24. [12]
  25. Hülfslinien: auxiliary lines, construction lines.
  26. [13]
  27. see [1 Note 9].
  28. [14]
  29. d. i. (das ist): that is to say (i. e.)
  30. [15]

7.

  1. nach keiner Seite hin: in no direction.
  2. [1]
  3. wie weit ... auch: however far.
  4. [2]
  5. gleichlaufend: German equivalent for parallel. In many cases German uses a foreign word and also a native word for the same term.
  6. [3]
  7. die ... Seiten; see [1 Note 10].
  8. [4]
  9. verhalten sich: are to each other.
  10. [6]
  11. Die ... Senkrechte; see [1 Note 10].
  12. [7]
  13. anliegend: adjacent.
  14. [8]
  15. es kommt nur darauf an: it is only required.
  16. [9]

8.

  1. Um um: the first um means in order and belongs to the infinitive zu beschreiben; the second um means around.
  2. [1]
  3. halbiere: bisect.
  4. [2]
  5. herumzutragen: to lay off.
  6. [3]
  7. eines Vielecks; see [1 Note 10].
  8. [4]
  9. die Fläche: surface, area.
  10. [5]
  11. körperliche: solid.
  12. [6]
  13. bis ins Unendliche: to infinity.
  14. [7]
  15. der Körper: body; (in Geometry) solid.
  16. [8]
  17. zwei ... Ebenen; see [1 Note 10].
  18. [9]
  19. entsteht: is formed.
  20. [10]
  21. die Grundfläche: base (surface).
  22. [11]
  23. und zwar: and moreover.
  24. [12]

9.

  1. inhaltsgleich: of equal (cubic) contents = of equal volume.
  2. [1]
  3. die Mantelfläche: curved surface.
  4. [2]
  5. dergestalt: in such a manner.
  6. [3]
  7. Ein ... Abschnitt; see [1 Note 10].
  8. [4]
  9. Wie verhalten sich: in what ratio are ... to each other.
  10. [5]
  11. einem ... Denkmale; see [1 Note 10].
  12. [6]