Coroll.
Igitur gravitas corporis S secundum SD est ad ejusdem gravitatem secundum SR sive DC in materiam sphæroidis globo interiori incumbentem ut 2k ⁄ 3 - 2kb² ⁄ 5l² + khhb² ⁄ l⁴ ad 2h ⁄ 3 + hb² ⁄ 5l² - hkkb² ⁄ l⁴, adeoque si gravitas prior exponatur per k, posterior exprimetur per h - 3hb² ⁄ 5l² quamproximè. Unde cum sit DC = h, patet gravitatem corporis S in sphæroidem oblatam non tendere ad centrum C, sed ad punctum c rectæ DC in plano æquatoris jacentis vicinius puncto D.
PROPOSITIO I.
Problema.
Vires determinare quibus perturbatur motus Satellitis circa Primarium suum revolventis.
Exhibeat jam sphærois prædicta planetam quemvis figurâ hac donatum, et corpus S satellitem circa planetam tanquàm primarium gyrantem. Quantitas materiæ globo sphæroidis interiori incumbentis æqualis est 4bbcD ⁄ 3a sive 4bcD ⁄ 3 proximè, et si materia illa locaretur in centro sphæroidis C, attraheret satellitem S secundum SC vi 4bcD ⁄ 3l², quæ reducta ad directionem SD fit 4bckD ⁄ 3l³, et ad directionem DC fit 4bchD ⁄ 3l³. Cum igitur vis 4bcD ⁄ 3l² non turbat motum satellitis, utpote quæ tendat ad centrum motûs et quadrato distantiæ ab eodem centro sit reciprocè proportionalis, vires illæ 4bckD ⁄ 3l³, 4bchD ⁄ 3l³, in quas resolvitur, etiam motum non turbabunt. Itaque ex vi D × c × (4kb ⁄ 3l³ - 4kb³ ⁄ 5l⁵ + 2khhb³ ⁄ l⁷) auferatur vis 4bckD ⁄ 3l³, et ex vi D × c × (4hb ⁄ 3l³ + 2hb³ ⁄ 5l⁵ - 2hkkb³ ⁄ l⁷) auferatur 4bchD ⁄ 3l³, et remanebunt vires D × c × - (4kb³ ⁄ 5l⁵ + 2khhb³ ⁄ l⁷), D × c × (2hb³ ⁄ 5l⁵ - 2hkkb³ ⁄ l⁷), motuum satellitis S perturbatrices. Designetur vis D × c × (2hb³ ⁄ 5l⁵ - 2hhkb³ ⁄ l⁷) per rectam Sr (Fig. 2.) ac resolvatur in vim Sq tendentem ad centrum planetæ primarii C et ob triangula similia Srq, SDC, æqualem D × c × (2b³ ⁄ 5l⁴ - 2kkb³ ⁄ l⁶), existentibus ut priùs, SD = k, DC = h, SC = l; et in vim rq rectæ SD parallelam et æqualem D × c × (2kb³ ⁄ 5l⁵ - 2k³b³ ⁄ l⁷); atque hæc vis posterior subducta ex vi D × c × - (4kb³ ⁄ 5l⁵ + 2khhb³ ⁄ l⁷) relinquet D × c × 4kb³ ⁄ 5l⁵ pro vi perturbatrice in directione SD. Unde cum massa tota planetæ sit 2abD ⁄ 3, gravitas satellitis tota in planetam erit 2abD ⁄ 3l² proximé, vel etiam 2bbD ⁄ 3l², et hæc gravitas est ad vim D × c × 4kb³ ⁄ 5l⁵ ut 1 ad 6kbc ⁄ 5l³.
Deinde vis illius D × c × 4kb³ ⁄5l⁵ secundum SD pars ea quæ agit in directione SC est D × c × 4kkb³ ⁄ 5l⁶, quæ addita vi Sq dat D × c × (2b³ ⁄ 5l⁴ - 6kkb³ ⁄ 5l⁶) vim perturbatricem tendentem ad centrum planetæ primarii, atque hæc vis est ad satellitis gravitatem 2bbD ⁄ 3l² in primarium ut 3bc ⁄ 5l² - 9kkbc ⁄ 5l⁴ ad 1. Q. E. I.
Coroll.
Designet CK (Fig. [3.]) lineam intersectionis planorum æquatoris planetæ et orbitæ satellitis, et resolvatur vis SD = 6kbc ⁄ 5l³, quæ agit perpendiculariter ad planum æquatoris, in vim DR perpendicularem ad planum orbitæ satellitis, et in vim SR jacentem in eodem plano. Producatur SR donec occurrat CK in K, eritque SK normalis ad CK, et planum SDK normale ad planum orbis satellitis; ac proptereà ob similia triangula SDK, SRD, si m denotet sinum ad radium 1 et n cosinum anguli SKD, inclinationis scilicet orbitæ satellitis ad æquatorem planetæ, erit DR = SD × n = 6kbcn ⁄ 5l³, et SR = SD × m = 6kbcm ⁄ 5l³, existente 1 gravitate totâ satellitis in primarium suum. Jam quoniam vis SR jacet in plano orbitæ satellitis, hujus plani situm non mutat; accelerat quidem vel retardat motum satellitis revolventis, sed hæc acceleratio vel retardatio ob brevitatem temporis ad quantitatem sensibilem non exurgit: vis DR eidem plano perpendicularis continuò mutat ejus situm, et motum nodi generat, quem sequenti propositione definiemus.